[논문 리뷰] A Decidable Fragment of Second Order Logic With Applications to Synthesis

P. Madhusudan, Umang Mathur외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 15.

Formal Methods in Verification참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 첫 번째 순서, 관계 및 기능 변수에 대한 ∃∗∀∗ 양화자 접두어를 가진 다수의 종류의 이阶 논리의 결정 가능 분할인 EQSMT를 소개한다. 이를 통해 배경 이론(예: 선형 산술)에 대한 결정 가능 ∃∗∀∗ 쿼리로 만족 가능성 문제를 축소시켜 블랙박스 SMT 해석기들을 사용함으로써 프로그램 합성 가능성을 보장하는 실용적인 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We propose a fragment of many-sorted second order logic called EQSMT and show that checking satisfiability of sentences in this fragment is decidable. EQSMT formulae have an $\exists^*\forall^*$ quantifier prefix (over variables, functions and relations) making EQSMT conducive for modeling synthesis problems. Moreover, EQSMT allows reasoning using a combination of background theories provided that they have a decidable satisfiability problem for the $\exists^*\forall^*$ FO-fragment (e.g., linear arithmetic). Our decision procedure reduces the satisfiability of EQSMT formulae to satisfiability queries of $\exists^*\forall^*$ formulae of each individual background theory, allowing us to use existing efficient SMT solvers supporting $\exists^*\forall^*$ reasoning for these theories; hence our procedure can be seen as effectively quantified SMT (EQSMT) reasoning. Errata: We have modified the transformation step-2 (page 9) to correct for a slight error. Also, the description above Theorem 10 is different from the published version.

연구 동기 및 목표

• 프로그램 합성 문제를 표현하는 데 적합한 결정 가능 제2차 논리 분할을 개발하기 위해.
• 배경 이론(예: 선형 산술, 실수 폐쇄 필드 등)의 조합에 대해 결정 가능 ∃∗∀∗ 분할을 사용한 추론을 가능하게 하기 위해.
• 결정 가능성을 보장하면서도 존재적 및 전칭적으로 양화된 제2차 변수(관계 및 함수)를 지원하는 논리를 설계하기 위해.
• EQSMT의 만족 가능성 문제를 개별 배경 이론 해석기들에 대한 유한한 수의 블랙박스 호출로 축소하기 위해.
• 기존 SMT 해석기들과 통합함으로써 자동화된 합성에 실용적인 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• EQSMT를 정의한다. 이는 배경 이론 Ti를 각각 갖는 다수의 종류의 논리로, 배경 종류 σ1,…,σn과 배경 종류가 아닌 전경 종류 σ0를 포함한다.
• 제2차 변수를 제한한다: 존재적으로 양화된 관계와 함수는 오직 전경 종류 σ0만을 인수 및 반환 유형으로 사용하도록 제한한다.
• 배경 이론의 도메인이 상호 배타적이며 오직 전경 종류를 통해만 통신하도록 보장함으로써 결정 가능성을 유지한다.
• 논리적 축소와 종류 기반 제약 조건을 사용하여 EQSMT 공식을 개별 배경 이론 T1,…,Tn에 대한 등가의 ∃∗∀∗ 일阶 공식으로 변환한다.
• EQSMT의 만족 가능성 문제를 각각의 배경 이론 내 ∃∗∀∗ 공식의 만족 가능성 문제로 축소함으로써 기존 SMT 해석기를 활용할 수 있도록 한다.
• 변환된 공식의 만족 가능성 문제를 확인하기 위해 배경 이론 해석기들에 대한 블랙박스 호출을 사용함으로써 모듈성과 효율성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 산술과 같은 배경 이론과 조합할 수 있고 프로그램 합성에 적합한 결정 가능 제2차 논리 분할을 설계할 수 있는가?
• RQ2 관계 및 함수에 대한 풍부한 제2차 양화를 允허하면서도 ∃∗∀∗ 양화자 접두어를 가진 제2차 논리의 결정 가능성을 보장할 수 있는가?
• RQ3 결정 가능성을 해치지 않으면서 서로 다른 배경 이론들 간의 소통을 전경 종류를 통해 어떻게 매개할 수 있는가?
• RQ4 EQSMT 공식의 만족 가능성 문제를 결정 가능 ∃∗∀∗ 분할을 가진 개별 배경 이론에 대한 만족 가능성 쿼리로 축소할 수 있는가?
• RQ5 EQSMT는 비해석 함수와 산술 제약 조건을 포함하는 합성 문제를 얼마나 잘 모델링하고 해결할 수 있는가?

주요 결과

• EQSMT는 첫 번째 순서, 관계 및 기능 변수에 대해 ∃∗∀∗ 양화자 접두어를 가진 제2차 논리의 결정 가능 분할이다.
• 배경 이론으로 프레스버거 산술, 실수 폐쇄 필드, 선형 실수 산술을 지원하며, 이들의 ∃∗∀∗ 분할이 결정 가능할 경우에 한해 가능하다.
• EQSMT 공식의 만족 가능성 문제는 개별 배경 이론에 대한 유한한 수의 만족 가능성 쿼리로 축소되며, 이는 기존 SMT 해석기를 활용할 수 있도록 한다.
• 결정 절차는 배경 이론 해석기들에 대한 블랙박스 호출에 의존하므로, 기존 SMT 기술과의 통합에 모듈성과 실용성을 제공한다.
• 제2차 변수의 유형을 제한하고 배경 이론과 전경 종류 간의 도메인이 상호 배타적이게 하여 불결정성 문제를 피한다.
• 이 프레임워크는 비해석 함수와 산술 제약 조건을 포함하는 합성 문제를 지원하며, 결정 불가능한 제2차 논리 확장의 대안으로 결정 가능한 대안을 제공한다.