[논문 리뷰] A Degree 4 Sum-Of-Squares Lower Bound for the Clique Number of the Paley Graph

Dmitriy Kunisky, Xifan Yu|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 04.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 소수 p개 정점으로 구성된 Paley 그래프의 클리크 수에 대해 차수 4의 제곱합(SOS) 하한을 Ω(p^{1/3})로 설정하며, 이는 SOS 완화법이 이 임계값 이하의 클리크 수를 증명할 수 없음을 보여준다. 이 결과는 Feige-Krauthgamer의 가짜모멘트 구축 방식을 비확률화한 변형을 통해 도출되었으며, 이는 해당 방법에 대해 하한이 최적임을 보이고, 차수 4 SOS가 지수를 1/2에서 1/3으로 향상시킬 수는 있지만 √p 장벽을 돌파하지는 못함을 시사한다.

ABSTRACT

We prove that the degree 4 sum-of-squares (SOS) relaxation of the clique number of the Paley graph on a prime number $p$ of vertices has value at least $Ω(p^{1/3})$. This is in contrast to the widely believed conjecture that the actual clique number of the Paley graph is $O(\mathrm{polylog}(p))$. Our result may be viewed as a derandomization of that of Deshpande and Montanari (2015), who showed the same lower bound (up to $\mathrm{polylog}(p)$ terms) with high probability for the Erdős-Rényi random graph on $p$ vertices, whose clique number is with high probability $O(\log(p))$. We also show that our lower bound is optimal for the Feige-Krauthgamer construction of pseudomoments, derandomizing an argument of Kelner. Finally, we present numerical experiments indicating that the value of the degree 4 SOS relaxation of the Paley graph may scale as $O(p^{1/2 - ε})$ for some $ε> 0$, and give a matrix norm calculation indicating that the pseudocalibration proof strategy for SOS lower bounds for random graphs will not immediately transfer to the Paley graph. Taken together, our results suggest that degree 4 SOS may break the "$\sqrt{p}$ barrier" for upper bounds on the clique number of Paley graphs, but prove that it can at best improve the exponent from $1/2$ to $1/3$.

연구 동기 및 목표

• 현재 알려진 바보다도 더 강한 상한을 Paley 그래프의 클리크 수에 대해 제곱합(SOS) 계층이 제공할 수 있는지 조사한다.
• 이전에 Erdős–Rényi 랜덤 그래프에 대해 확립된 차수 4 SOS 하한을 비확률화하여, 결정론적 Paley 그래프에 적용한다.
• Feige-Krauthgamer의 가짜모멘트 구축 방식이 차수 4 SOS에 대해 Paley 그래프에서 최적의 하한을 제공하는지 확인한다.
• 수치적 증거와 행렬 노름 상한이 차수 4 SOS가 클리크 수 상한에 대해 √p 장벽을 돌파할 수 있는지 평가한다.

제안 방법

• Feige와 Krauthgamer의 영감을 받은 가짜모멘트 구축 방식을 활용하여, 결정론적 그래프에 적합하게 조정함으로써 Paley 그래프에 대해 차수 4 SOS 하한을 유도한다.
• SOS 제약 조건을 만족하는 유효한 가짜모멘트 행렬을 구성하고, 소수 p에 대해 그 목적 함수 값이 Ω(p^{1/3})임을 증명한다.
• Paley 그래프가 p ≡ 1 mod 4 인 유한체 F_p 위에서 정의되며, 이로 인해 이차 잔여물의 구조를 활용해 대칭성과 정규성을 확보함을 이용한다.
• Feige-Krauthgamer 프레임워크를 Paley 그래프에 적용하여, 유도된 하한이 이 구축 방식에 대해 최적임을 증명한다.
• p ≤ 250 인 경우에 대해 SDP 완화법에 대한 수치 실험을 수행하고, SOS4(G_p)와 FK 가짜모멘트 값에 대해 거듭제곱 법칙 모델을 fitting한다.
• Seidel 인접행렬의 행렬 노름을 분석하여, AMP [AMP16] 상한이 Paley 그래프에서는 실패함을 보이며, 이는 랜덤 그래프와의 구조적 차이를 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 4 SOS 완화법이 Paley 그래프의 클리크 수에 대해 √p 장벽을 넘어서는 더 낮은 하한을 달성할 수 있는가?
• RQ2 Feige-Krauthgamer의 가짜모멘트 구축 방식이 Paley 그래프의 차수 4 SOS에 대해 최적인가?
• RQ3 수치 실험 결과, SOS4(G_p)가 어떤 ε > 0 에 대해 O(p^{1/2−ε})로 척도가 조절되는가?
• RQ4 랜덤 그래프에서는 성립하는 [AMP16]의 행렬 노름 상한이 왜 Paley 그래프에서는 실패하는가?

주요 결과

• p개 정점으로 구성된 Paley 그래프의 차수 4 SOS 완화법은 하한 Ω(p^{1/3})을 가지며, 이는 SOS 방법이 이 임계값 이하의 클리크 수를 증명할 수 없음을 증명한다.
• 사용된 가짜모멘트 구축 방식은 Feige-Krauthgamer 프레임워크에 대해 최적임을 확인하였으며, 이는 Paley 그래프에서 FK4(G_p) = O(p^{1/3})임을 확인한다.
• 수치 실험 결과, SOS4(G_p)가 p^{0.395}로 척도가 조절됨을 보이며, 이는 √p 이하임을 지지하며, SOS4(G_p) = O(p^{1/2−ε})에 대한 추측을 뒷받침한다.
• Paley 그래프의 Seidel 인접행렬의 행렬 노름은 p^2로 증가하며, 이는 Erdős–Rényi 그래프에서 성립하는 O(p^{3/2}) 상한을 위반함을 보이며, 이는 랜덤 그래프 기법을 직접 이전할 수 없는 구조적 차이를 시사한다.
• 랜덤 그래프의 SOS 하한에 사용되는 가짜보정 방법은 인접행렬의 스펙트럼 변동성이 부족하기 때문에 바로 Paley 그래프에 적용되지 않는다.
• 결과적으로 차수 4 SOS는 Paley 그래프의 클리크 수 상한에 대해 지수를 1/2에서 1/3으로 향상시킬 수는 있지만, √p 장벽을 돌파하지는 못한다.