[논문 리뷰] A Delayed Black and Scholes Formula I

Mercedes Arriojas, Yaozhong Hu외 2명|ArXiv.org|2006. 04. 28.

Stochastic processes and financial applications인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 시간 지연를 통해 과거 주가를 반영하는 확률적 함수 미분 방정식(sfde)을 사용하여 블랙-쇼스 모델의 지연 확장 모델을 개발한다. 주요 기여는 이 지연 모델 하에서 유럽 콜옵션에 대해 시장 완전성과 무아웃리어 조건을 유지하면서도 명시적인 폐형 옵션 가격 공식을 도출한 것이다. 옵션 가격은 현재 주가와 지연 간격 동안의 과거 주가 경로에 의존한다.

ABSTRACT

In this article we develop an explicit formula for pricing European options when the underlying stock price follows a non-linear stochastic differential delay equation (sdde). We believe that the proposed model is sufficiently flexible to fit real market data, and is yet simple enough to allow for a closed-form representation of the option price. Furthermore, the model maintains the no-arbitrage property and the completeness of the market. The derivation of the option-pricing formula is based on an equivalent martingale measure.

연구 동기 및 목표

• 시간 지연를 통해 기억 효과를 반영하면서도 유연하고 해석적으로 다룰 수 있는 주가 동역학 모델을 개발한다.
• 고전적 블랙-쇼스 모델의 일정한 변동성 가정의 한계를 보완하기 위해 변동성이 과거 가격 기록에 의존하도록 허용한다.
• 시장 완전성과 무아웃리어 조건을 유지하면서도 지연 모델 하에서 유럽 콜옵션 가격에 대해 명시적 폐형 공식을 유도한다.
• 등가 마링갈 측도와 확률 미적분 기법을 사용하여 해석적 다루기 용이성을 유지한다.

제안 방법

• 지연된 값 S(t−a) 및 S(t−b)에 의존하는 드리프트 및 확산 계수를 갖는 확률적 지연 미분 방정식(sdde)을 사용하여 주가 S(t)를 모델링한다.
• 초기 과정 φ(0) > 0 거의 확실하게 성립할 경우 해 S(t)에 대해 경로별 유일성과 양성을 확립한다.
• 기하브라노프의 정리를 적용하여 할인 주가가 국소 마링갈이 되는 등가 마링갈 측도 Q를 구성한다.
• 지연 과정의 마르코프 성질을 활용하여 할인 수익의 조건부 기대값으로 옵션 가격을 도출한다.
• 등가 측도 하에서 주가 과정의 명시적 형태를 사용하여 옵션 가격을 누적 정규분포 함수 Φ의 형태로 표현한다.
• 최종 지연 간격에서 옵션 가격에 대한 시간에 따라 변하는 랜덤 블랙-쇼스 편미분방정식을 유도하며, t ≥ T−b일 때에만 V(t) = e^{-r(T−t)}F(t,S(t))가 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지연된 확률적 모델을 통해 주가 동역학을 구성할 수 있는가? 이 모델은 해석적 다루기 용이성을 유지하면서도 경험적 변동성 패턴을 더 잘 반영할 수 있는가?
• RQ2 드리프트 및 확산 계수에 과거 가격 기록을 통합할 경우 고전적 블랙-쇼스 모델과 비교해 옵션 가격 공식에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 시장 완전성과 무아웃리어 조건을 유지하는 지연 주가 모델 하에서 유럽 콜옵션 가격의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 특히 최종 지연 간격에서 옵션 가격은 주가의 과거 경로에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 옵션 가격 공식은 시간에 따라 변하는 계수를 갖는 랜덤 편미분방정식으로 표현될 수 있는가? 이러한 표현은 어떤 조건에서 유효한가?

주요 결과

• 제안된 지연 모델은 초기 값 φ(0) > 0 거의 확실하게 성립할 경우 t ≥ 0 에서 경로별로 유일하고 양성인 해 S(t)를 갖는다.
• t ∈ [T−l, T] 에서 옵션 가격 V(t)는 폐형 공식으로 주어진다: V(t) = S(t)Φ(β₊) − Ke^{−r(T−t)}Φ(β₋), 여기서 β₊ 및 β₋ 는 [t,T] 에서 g²(S(u−b))의 적분에 의존한다.
• g(x) ≡ 1 이면 공식은 정확히 고전적 블랙-쇼스 공식으로 줄어들며, 표준 모델과의 일관성을 확인한다.
• 옵션 가격은 현재 주가 S(t)뿐 아니라 t ≥ T−l 일 경우 {S(v) : v ∈ [t−b, T−b]} 의 전체 과거 경로에 의존한다.
• 최종 지연 간격 [T−l, T] 에서 옵션 가격은 ∂F/∂t = −½g²(S(t−b))x²∂²F/∂x² − rx∂F/∂x + rF 형태의 랜덤 편미분방정식을 만족하며, 종료 조건 F(T,x) = (x−K)+ 를 갖는다.
• t < T−l 일 경우, 해 F가 필터레이션 (F_t) 에 대해 예측 가능하지 않기 때문에 표현 V(t) = e^{−r(T−t)}F(t,S(t)) 는 더 이상 성립하지 않는다.