[논문 리뷰] A density-matrix renormalization group algorithm for simulating quantum circuits with a finite fidelity

Thomas Ayral, Thibaud Louvet외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한한 편향을 갖는 양자 회로를 시뮬레이션하기 위해 설계된 밀도행렬 반복법(DMRG) 알고리즘을 소개한다. 이는 하미르토니안의 에르미트 연산자에서 유니터리 양자 회로로의 DMRG 확장으로, 깊은 회로에 대해 정확한 방법에 비해 지수적 속도 향상을 달성한다. 단일 코어에서 구글의 양자 우월성 실험의 편향을 재현하며, QAOA 회로의 오차율을 100배 감소시켜 현재의 양자 계산에서 큐비트 수보다 편향이 주요 제약 요소임을 입증한다.

ABSTRACT

We develop a density-matrix renormalization group (DMRG) algorithm for the simulation of quantum circuits. This algorithm can be seen as the extension of time-dependent DMRG from the usual situation of hermitian Hamiltonian matrices to quantum circuits defined by unitary matrices. For small circuit depths, the technique is exact and equivalent to other matrix product state (MPS) based techniques. For larger depths, it becomes approximate in exchange for an exponential speed up in computational time. Like an actual quantum computer, the quality of the DMRG results is characterized by a finite fidelity. However, unlike a quantum computer, the fidelity depends strongly on the quantum circuit considered. For the most difficult possible circuit for this technique, the so-called "quantum supremacy" benchmark of Google Inc. , we find that the DMRG algorithm can generate bit strings of the same quality as the seminal Google experiment on a single computing core. For a more structured circuit used for combinatorial optimization (Quantum Approximate Optimization Algorithm or QAOA), we find a drastic improvement of the DMRG results with error rates dropping by a factor of 100 compared with random quantum circuits. Our results suggest that the current bottleneck of quantum computers is their fidelities rather than the number of qubits.

연구 동기 및 목표

• 유니터리 진동에 기반한 양자 회로를 시뮬레이션하기 위한 DMRG 기반 방법을 개발하여, 기존의 에르미트 하미르토니안에 한정된 기법을 초월한다.
• 세 가지 회로 유형에 대해 알고리즘을 벤치마킹한다: 구글의 양자 우월성 회로, 무작위 회로, 조합 최적화를 위한 QAOA 회로.
• 근접한 양자 장치를 시뮬레이션할 때 계산 비용과 편향 중 어느 것이 주요 제약 요소인지 평가한다.
• 구조화된 회로(예: QAOA)가 랜덤 회로보다 DMRG에서 훨씬 더 큰 이점을 얻는 이유를 밝히며, 이는 편향이 회로 구조에 따라 어떻게 달라지는지 밝힌다.

제안 방법

• 시간에 따라 변하는 DMRG 알고리즘을 하미르토니안이 아닌 유니터리 진동 행렬을 다룰 수 있도록 수정하여, 양자 회로의 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 행렬 곱 상태(MPS) 표현을 사용하여 양자 상태를 압축하고, 계산 효율성을 위해 결합 차원 χ로 절단한다.
• MPS에 대해 특이값 분해(SVD)를 적용하여 가장 중요한 얽힘 모드를 식별하고 유지하며, 특이값은 Sμ ∝ 2−N/4g(μ/2N/2)의 비율로 스케일링된다.
• 특이값 분포를 모델링하고 절단에 따른 편향 감쇠를 예측하기 위해 스케일링 법칙 g(x) = 2cos(½A⁻¹(πx))을 사용한다.
• 메트로폴리스 샘플링을 구현하여 |Ψx|²에 따라 분포하는 비트스트링을 생성함으로써 측정 결과의 효율적 샘플링을 가능하게 한다.
• 교차 엔트로피 기반 벤치마킹을 통해 편향을 정량화하고 실제 양자 하드웨어 성능과 결과를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하미르토니안 시간 진동이 아닌 유니터리 진동을 지배하는 양자 회로를 시뮬레이션하기 위해 DMRG를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 DMRG 시뮬레이션의 편향은 특히 랜덤 회로와 구조화된 회로 간에 어떻게 회로 구조에 따라 달라지는가?
• RQ3 깊은 양자 회로에 대해 정확한 시뮬레이션 대비 DMRG가 얼마나 높은 정확도를 유지하면서도 지수적 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ4 왜 DMRG 알고리즘이 QAOA 회로에서는 랜덤 양자 우월성 회로보다 훨씬 더 잘 작동하는가? 이는 회로 구조의 역할에 대해 어떤 시사점을 제공하는가?
• RQ5 DMRG 시뮬레이션의 편향은 실제 양자 하드웨어 수준과 유사한가? 그리고 구글의 우월성 실험과 같은 주요 실험 기준을 재현할 수 있는가?

주요 결과

• DMRG 알고리즘은 단일 컴퓨팅 코어에서 구글의 양자 우월성 회로의 비트스트링 통계를 원래 실험과 유사한 편향으로 재현한다.
• QAOA 회로의 경우, DMRG 방법은 무작위 회로 대비 오차율을 100배 감소시켜, 편향이 회로 구조에 매우 민감함을 시사한다.
• 혼돈한계에서 DMRG 시뮬레이션의 편향은 F(χ) ≈ 4χ / 2^{N/2}로 스케일링되며, 이는 균일한 특이값 분포의 최악의 경우보다 네 배 더 우수한 성능을 보인다.
• 특이값 스펙트럼은 비균일한 스케일링 법칙 Sμ ∝ 2−N/4g(μ/2N/2)를 따르며, g(x) = 2cos(½A⁻¹(πx))로 표현되며, 이는 구조화된 회로에서의 성능 향상을 설명한다.
• 메트로폴리스 샘플링을 통해 평균 수용률 약 70%로 효율적인 비트스트링 생성이 가능하며, 수용된 비트스트링당 평균 약 1.5개의 확률 진폭만 필요로 한다.
• 알고리즘의 편향은 큰 N에 대해 log(2)/D에서 포화 상태에 도달하며, 이는 큐비트 수가 아닌 회로 깊이 D와 관련된 기본적인 제한을 시사한다.