[논문 리뷰] A description of all solutions of the matrix Hamburger moment problem in a general case

Sergey M‎. ‎Zagorodnyuk|ArXiv.org|2009. 10. 20.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 7인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 경우에서 행렬 하무버그 모멘트 문제의 모든 해를 완전히 특성화한다. 일반화된 해석형 연산자와 연산자 이론적 방법을 사용하여, 해와 적합한 함수의 클래스에 대한 일대일 대응을 수립한다. 이는 이전에 완전히 결정 불가능하거나 비퇴도적인 경우에 국한된 결과를, 약간의 가역성 조건 하에 일반적인 문제의 전반적인 일반화로 확장한다.

ABSTRACT

We describe all solutions of the matrix Hamburger moment problem in a general case (no conditions besides solvability are assumed). We use the fundamental results of A.V. Shtraus on the generalized resolvents of symmetric operators. All solutions of the truncated matrix Hamburger moment problem with an odd number of given moments are described in an "almost nondegenerate" case. Some conditions of solvability for the scalar truncated Hamburger moment problem with an even number of given moments are given.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 경우에서 결함 수나 결정 불가능한 경우에 제한 없이, 행렬 하무버그 모멘트 문제의 모든 해를 완전히 기술하는 것.
• 이전에 완전히 결정 불가능하거나 비퇴도적인 경우에 국한된 결과를, 임의의 가역성 조건을 포함하여 확장하는 것.
• 자unction의 해와 복소수의 오른쪽 반평면에 있는 연산자 함수의 클래스 사이의 일대일 대응을 수립하는 것.
• 짝수 개인 모멘트를 가진 스칼라의 절단된 하무버그 모멘트 문제에 대해 단순한 대수적 가역성 기준을 도출하는 것.
• 일반화된 해석형, 재생 핵 힐버트 공간, 행렬 직교 다항식을 사용한 이전의 접근을 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 임의의 결함 지수를 가진 대칭 연산자의 일반화된 해석형에 관한 A.V. Shtraus의 결과를 활용하여 해를 매개변수화한다.
• 조건 $ \Gamma_{d-1} > 0 $, $ \Gamma_d \geq 0 $ 하에서 모멘트 수열 $ \{S_n\} $ 로부터 모멘트 행렬 $ \Gamma_d $ 를 사용해 대칭 연산자 $ A $ 를 구성한다.
• 해 $ M(x) $ 와 복소수의 상반평면에서 수축 연산자 집합으로 사상하는 해석적 연산자 함수의 클래스인 $ F(\lambda) \in K_a(A; \mathbb{C}_+; N_i, N_{-i}) $ 사이의 일대일 대응을 수립한다.
• 스틸체스 역행렬 공식을 통해 해를 도출한다: $ \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{x - \lambda} dm_{k,j}(x) = \left( (A_{F(\lambda)} - \lambda E_H)^{-1} x_k, x_j \right)_H $, $ \lambda \in \mathbb{C}_+ $.
• 재생 핵 힐버트 공간 이론과 연산자 모델을 적용하여 해 공간을 특성화한다.
• 스칼라의 경우, 모멘트 행렬 $ \Gamma_n $ 의 질량과 정부정성에 기반한 가역성 기준을 도출하며, $ \Gamma_d > 0 $ 또는 $ \Gamma_d $ 가 특이적이지만 $ r < d $ 에 대해 $ \Gamma_r > 0 $ 인 경우를 특별히 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 가역성 조건 하에서, 행렬 하무버그 모멘트 문제의 완전한 해 집합은 무엇인가?
• RQ2 해는 복소수의 상반평면에 있는 연산자 함수의 관점에서 어떻게 매개변수화될 수 있는가?
• RQ3 짝수 개인 모멘트를 가진 스칼라의 절단된 하무버그 모멘트 문제에 대해 가역성의 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 기존의 완전히 결정 불가능하거나 비퇴도적인 경우에 대한 결과는 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 임의의 결함 지수를 가진 대칭 연산자의 일반화된 해석형을 사용하여 해 공간을 완전히 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 행렬 하무버그 모멘트 문제의 해는 연산자 함수 $ F(\lambda) \in K_a(A; \mathbb{C}_+; N_i, N_{-i}) $ 를 통해 매개변수화되며, 일대일 대응이 수립된다.
• 조건 $ \Gamma_{d-1} > 0 $, $ \Gamma_d \geq 0 $ 하에서 절단된 행렬 하무버그 모멘트 문제의 모든 해는 관련된 연산자 $ A_{F(\lambda)} $ 의 해석형을 포함하는 스틸체스 유형 적분 공식으로 주어진다.
• 짝수 개인 모멘트를 가진 스칼라의 경우, 해가 존재하는 것은 모든 모멘트가 0이거나, $ \Gamma_d > 0 $ 이거나, $ \Gamma_r > 0 $, $ \det\Gamma_{r+1} = 0 $ 이고, 관련 다항식이 실수의 서로 다른 근을 가지며 비음수 점프 가중치를 가져야 한다는 것과 동치이다.
• $ \Gamma_d > 0 $ 인 경우, 해는 유일하며 $ d+1 $ 개의 서로 다른 점에 양측정을 가진 측도에 대응한다.
• $ \Gamma_r > 0 $, $ \Gamma_{r+1} $ 가 특이적이고, 관련 다항식 $ p(x) $ 가 실수의 서로 다른 근을 가지는 경우, 점프 가중치에 대한 선형 방정식계의 비음수 해가 존재할 때에만 해가 존재하고 유일하다.
• 모든 모멘트가 0이거나 $ \Gamma_d > 0 $ 인 경우에 해는 유일하며, $ r < d $ 인 특이적 경우에 유일성은 점프 가중치에 대한 선형 시스템의 해가 비음수일 때에만 성립한다.