[논문 리뷰] A Deterministic Algorithm for Computing the Weight Distribution of Polar Codes

Hanwen Yao, Arman Fazeli외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 15.

Error Correcting Code Techniques참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 길이 128 이하의 폴라 코드의 정확한 무게 분포를 계산하는 결정론적 알고리즘을 제시한다. 성분 분해 경로를 따라 폴라 코스터의 무게 분포를 계산하기 위한 재귀적 절차를 유도하고, 감소하는 단항 다항식 코드의 자동형군—특히 블록 하삼각 아핀 군—을 활용함으로써 지수적 복잡도를 다룰 수 있는 수준으로 낮춘다. 이를 통해 (128,64) 폴라 코드와 (128,64) 리드-멀러 코드와 같은 코드의 정확한 계산이 가능해진다.

ABSTRACT

In this work, we present a deterministic algorithm for computing the entire weight distribution of polar codes. As the first step, we derive an efficient recursive procedure to compute the weight distribution that arises in successive cancellation decoding of polar codes along any decoding path. This solves the open problem recently posed by Polyanskaya, Davletshin, and Polyanskii. Using this recursive procedure, at code length n, we can compute the weight distribution of any polar cosets in time O(n^2). We show that any polar code can be represented as a disjoint union of such polar cosets; moreover, this representation extends to polar codes with dynamically frozen bits. However, the number of polar cosets in such representation scales exponentially with a parameter introduced herein, which we call the mixing factor. To upper bound the complexity of our algorithm for polar codes being decreasing monomial codes, we study the range of their mixing factors. We prove that among all decreasing monomial codes with rates at most 1/2, self-dual Reed-Muller codes have the largest mixing factors. To further reduce the complexity of our algorithm, we make use of the fact that, as decreasing monomial codes, polar codes have a large automorphism group. That automorphism group includes the block lower-triangular affine group (BLTA), which in turn contains the lower-triangular affine group (LTA). We prove that a subgroup of LTA acts transitively on certain subsets of decreasing monomial codes, thereby drastically reducing the number of polar cosets that we need to evaluate. This complexity reduction makes it possible to compute the weight distribution of polar codes at length n = 128.

연구 동기 및 목표

• 임의의 순차적 취소 복호화 경로를 따라 폴라 코드의 무게 분포를 효율적으로 계산하는 데에 열려 있는 문제를 해결하기 위해.
• 브루트 포스 방법이 실패하는 길이 128에서 폴라 코드의 전체 무게 분포를 정확히 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 감소하는 단항 다항식 코드 내의 대칭성을 활용해 코스터 수를 세는 지수적 복잡도를 줄이기 위해.
• 폴라 코드와 자기쌍대 리드-멀러 코드에 대해 혼합 인자라는 핵심 매개변수의 경계를 설정하기 위해.
• 대칭 기반의 복잡도 감소를 통해 길이 128에서 모든 감소하는 단항 다항식 코드에 대해 정확한 무게 분포 계산의 가능성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 임의의 복호화 경로를 따라 발생하는 폴라 코스터의 무게 생성 함수를 계산하기 위한 재귀적 절차를 개발한다.
• 모든 폴라 코드를 상호배타적인 폴라 코스터의 합집합으로 표현함으로써 개별 코스터 분포의 합을 통해 전체 무게 분포를 재구성할 수 있도록 한다.
• 코스터 수의 지수적 증가를 측정하는 혼합 인자라는 개념을 도입한다.
• 특히 블록 하삼각 아핀 군(BLTA)을 포함한 감소하는 단항 다항식 코드의 자동형군을 활용해 등가 코스터를 식별한다.
• 하삼각 아핀 군(LTA)의 부분군이 특정 코스터 부분집합 위에서 추이적으로 작용함을 증명함으로써 평가해야 할 서로 다른 코스터 수를 크게 줄일 수 있다.
• 대칭성 감소를 적용하여 (128,64) 폴라 코드의 경우 계산이 필요한 코스터 수를 $2^{34}$에서 약 $2^{25.23}$으로, (128,64) 리드-멀러 코드의 경우 $2^{49}$에서 $2^{35.53}$으로 줄였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브루트 포스 열거의 한계를 넘어서 길이 128 이하의 폴라 코드에 대해 정확한 무게 분포를 계산할 수 있는가?
• RQ2 모든 영 경로가 아닌 임의의 복호화 경로를 따라 폴라 코스터의 무게 분포를 재귀적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 길이 128에서 비율 ≤ 1/2인 감소하는 단항 다항식 코드들 중 혼합 인자의 최대값은 얼마이며, 이는 알고리즘의 복잡도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 감소하는 단항 다항식 코드의 자동형군을 활용해 무게 분포 계산에 필요한 코스터 수를 줄일 수 있는가?
• RQ5 하삼각 아핀 군의 대칭성이 코스터 부분집합 위에서 추이적 작용을 할 수 있으며, 이에 따라 계산 복잡도를 크게 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 5G 신뢰성 순서로 구성된 (128,64) 폴라 코드의 무게 분포가 정확히 계산되었으며, 랩탑에서 두 시간 미만에 완료되었다.
• 대칭성 감소를 통해 평가해야 할 폴라 코스터 수가 $2^{34}$에서 약 $2^{25.23}$으로 감소하여 계산이 가능해졌다.
• 비율 ≤ 1/2인 감소하는 단항 다항식 코드들 중에서 혼합 인수가 가장 큰(49) (128,64) 리드-멀러 코드의 경우 코스터 수가 $2^{49}$에서 $2^{35.53}$으로 감소하였다.
• 자기쌍대 (128,64) 리드-멀러 코드는 이러한 코드들 중 혼합 인수가 가장 높으며, 알고리즘이 여전히 계산적으로 타당하다.
• 알고리즘은 길이 128에서 감소하는 단항 다항식 코드의 모든 경우에 대해 정확한 무게 분포 계산이 가능하다는 것을 입증하였으며, 대칭성 감소 후에도 감소된 코스터 수가 $2^{36}$ 이하로 유지되기 때문이다.
• 알고리즘은 길이 128에서 폴라 코드의 전체 무게 분포를 정확히 계산함으로써 오랫동안 열려 있던 코딩 이론 분야의 핵심 문제를 해결하였다.