[논문 리뷰] A Deterministic Almost-Linear Time Algorithm for Minimum-Cost Flow

Jan van den Brand, Li Chen외 6명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 28.

Complexity and Algorithms in GraphsComputer Science인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항식적으로 유계된 용량, 비용, 수요를 가진 방향 그래프에서 최소비용 유량과 최대유량을 위한 최초의 결정적 거의 선형 시간 알고리즘을 제시한다. 이는 난수를 사용하지 않고도 낮은 스트레치를 유지하는 동적 그래프 데이터 구조와 흐물거림 없는 스파스 스펜서를 유지함으로써, 무작위성 없이 근사 최소 비율 순환을 효율적으로 계산할 수 있도록 함으로써 $ m^{1+o(1)} $의 런타임을 달성한다.

ABSTRACT

We give a deterministic $m^{1+o(1)}$ time algorithm that computes exact maximum flows and minimum-cost flows on directed graphs with $m$ edges and polynomially bounded integral demands, costs, and capacities. As a consequence, we obtain the first running time improvement for deterministic algorithms that compute maximum-flow in graphs with polynomial bounded capacities since the work of Goldberg-Rao [J.ACM '98]. Our algorithm builds on the framework of Chen-Kyng-Liu-Peng-Gutenberg-Sachdeva [FOCS '22] that computes an optimal flow by computing a sequence of $m^{1+o(1)}$-approximate undirected minimum-ratio cycles. We develop a deterministic dynamic graph data-structure to compute such a sequence of minimum-ratio cycles in an amortized $m^{o(1)}$ time per edge update. Our key technical contributions are deterministic analogues of the vertex sparsification and edge sparsification components of the data-structure from Chen et al. For the vertex sparsification component, we give a method to avoid the randomness in Chen et al. which involved sampling random trees to recurse on. For the edge sparsification component, we design a deterministic algorithm that maintains an embedding of a dynamic graph into a sparse spanner. We also show how our dynamic spanner can be applied to give a deterministic data structure that maintains a fully dynamic low-stretch spanning tree on graphs with polynomially bounded edge lengths, with subpolynomial average stretch and subpolynomial amortized time per edge update.

연구 동기 및 목표

• 다항식적으로 유계된 용량을 가진 그래프에서 최대유량에 대한 랜덤 알고리즘과 결정적 알고리즘 간의 오랫동안 지속된 격차를 해소하기 위해.
• Chen 등이 최근 제안한 $m^{1+o(1)}$-시간 랜덤 알고리즘 프레임워크를 최소비용 유량에 대해 결정적으로 구현하기 위해.
• 이전에 랜덤 샘플링과 트리 임베딩에 의존했던 핵심 구성요소인 정점 스퍼리파이케이션과 간선 스퍼리파이케이션에서 랜덤성을 제거하기 위해.
• 하나의 간선 변경에 대해 하위다항식 평균 업데이트 시간을 가지는 낮은 스트레치 스패닝 트리를 유지하는 결정적 동적 데이터 구조를 개발하기 위해.
• 유량 계산에 사용하기 위한, 하위다항식 스트레치와 하위다항식 업데이트 시간을 가지는 완전 동적 스펜서를 구축하기 위해.

제안 방법

• 하나의 간선 변경에 대해 하위다항식 스트레치와 하위다항식 평균 업데이트 시간을 가지는 흐물거림 없는 스파스 스펜서를 유지하는 결정적 동적 그래프 데이터 구조를 설계하기 위해.
• 이전 연구에서 사용된 랜덤 정점 스퍼리파이케이션을 대체하기 위해 트리 분해와 정점 샘플링을 기반으로 하는 결정적 재귀 방법을 도입하기 위해.
• 동적 그래프를 스파스 스펜서에 임베딩하는 데 사용되는 결정적 트리 체인 구조를 이용한 새로운 간선 스퍼리파이케이션 기법을 제안하기 위해.
• 이동된 트리 체인을 사용하여 낮은 스트레치 포레스트를 유지하고, 유량 계산 중 순환 품질 분석을 효율적으로 지원하기 위해.
• 동적 낮은 스트레치 포레스트 데이터 구조에서 스트레치와 업데이트 비용을 균형 잡기 위해 승수 가중치를 적용하기 위해.
• 동적 스펜서와 낮은 스트레치 포레스트를 순환 근사 프레임워크에 통합하여 결정적으로 최소 비율 순환을 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Chen 등이 제안한 $m^{1+o(1)}$-시간 랜덤 최대유량 알고리즘을 근사 선형 시간 복잡도를 유지하면서 결정적으로 변환할 수 있는가?
• RQ2 동적 그래프 데이터 구조에서 랜덤 정점 및 간선 스퍼리파이케이션에 대한 결정적 대안은 무엇이 있는가?
• RQ3 하위다항식 평균 업데이트 시간을 가지는 완전 동적 낮은 스트레치 스패닝 트리를 결정적으로 유지하는 것이 가능한가?
• RQ4 유량 알고리즘에 사용하기 위한, 하위다항식 스트레치와 하위다항식 업데이트 비용을 가지는 결정적 스펜서를 구성할 수 있는가?
• RQ5 순환 근사 프레임워크의 결정적화가 최소비용 유량 계산의 전체 런타임에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 다항식적으로 유계된 용량, 비용, 수요를 가진 방향 그래프에서 정확한 최대유량과 최소비용 유량을 계산하기 위한 결정적 $ m^{1+o(1)} $-시간 알고리즘을 달성한다.
• 이 알고리즘은 일반적인 경우에서 오랫동안 지속된 $ ilde{O}(m imes ext{min}igrace{m^{1/2}, n^{2/3}}igrace{}) $ 런타임을 기록한 Goldberg-Rao (1998)의 결정적 최대유량 알고리즘보다 향상된다.
• 하나의 간선 업데이트에 대해 하위다항식 스트레치와 하위다항식 평균 업데이트 시간을 가지는 흐물거림 없는 스파스 스펜서를 유지하는 결정적 동적 그래프 데이터 구조가 존재한다.
• 저자들은 하위다항식 평균 스트레치와 하위다항식 평균 업데이트 비용을 가지는 결정적 동적 낮은 스트레치 포레스트를 구축한다.
• 이 프레임워크는 $ m^{1+o(1)} $-근사 무방향 최소 비율 순환을 결정적으로 계산할 수 있게 하며, 이를 통해 최소비용 유량을 정확히 해결할 수 있다.
• 결과적으로 결정적 알고리즘이 최소비용 유량 문제에서 거의 선형 시간을 달성할 수 있음을 입증하며, 이 분야에서 랜덤 알고리즘과 결정적 알고리즘 간의 주요 격차를 해소한다.