[논문 리뷰] A Deterministic Approximation Algorithm for Computing a Permanent of a 0,1 matrix

David Gamarnik, Dmitriy Katz|ArXiv.org|2007. 02. 02.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 0-1 행렬의 영업을 $(1+\epsilon)^n$의 곱셈 요인 내에서 결정적 근사 알고리즘으로 계산하는 방법을 제시한다. 이는 부분 매칭 수를 세는 결정적 알고리즘과 Jerrum-Vazirani 확산기 분해를 활용하여, 일정 차수의 확산기의 경우 다항 시간을 달성하고 일반 행렬의 경우 $\exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$의 시간을 확보한다.

ABSTRACT

We construct a deterministic approximation algorithm for computing a permanent of a $0,1$ $n$ by $n$ matrix to within a multiplicative factor $(1+ε)^n$, for arbitrary $ε>0$. When the graph underlying the matrix is a constant degree expander our algorithm runs in polynomial time (PTAS). In the general case the running time of the algorithm is $\exp(O(n^{2\over 3}\log^3n))$. For the class of graphs which are constant degree expanders the first result is an improvement over the best known approximation factor $e^n$ obtained in \cite{LinialSamorodnitskyWigderson}. Our results use a recently developed deterministic approximation algorithm for counting partial matchings of a graph Bayati et al., and Jerrum-Vazirani decomposition method.

연구 동기 및 목표

• 영업 계산의 랜덤화 알고리즘과 결정적 알고리즘 사이의 격차를 $\#P$-완전 설정에서 해소하기 위해.
• 이전의 [LSW00] 논문에서 제시한 $e^n$의 경계보다 더 나은 곱셈 요인을 갖는 결정적 근사 알고리즘을 제공하기 위해.
• 부분 매칭과 확산기 분해를 통한 결정적 수세기 기법의 영업 계산에 대한 적용 범위를 확장하기 위해.
• 기초가 되는 그래프가 일정 차수의 확산기인 경우 다항 시간 근사 알고리즘을 달성하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 영업 계산을 그래프 내의 모든 부분 매칭 및 완전 매칭에 대한 분할 함수 추정으로 환원한다.
• 일정 차수 그래프에 대해 다항 시간 내에 실행되는 결정적 근사 알고리즘을 사용하여 부분 매칭 수를 세는 방법을 활용한다([BGK+]).
• 일반 그래프의 경우, Jerrum-Vazirani 확산기 분해를 적용하여 그래프를 확산기와 비확산기로 재귀적으로 분할한다.
• 영업은 하위그래프의 근사치를 조합하여 재귀적으로 추정되며, 모든 재귀 호출에서 곱셈 요인 $(1+\epsilon)^n$을 사용한다.
• 재귀적 분석을 통해 실행 시간을 제한하며, 이는 이항 계수와 재귀 하위문제 크기에 대한 경계를 사용하여 $g(n) \leq \exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$임을 보여준다.
• 모든 재귀 하위문제에서 경계를 유지하고 결과를 곱셈적으로 조합함으로써, 알고리즘이 $(1+\epsilon)^n$의 근사 요인을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 0-1 행렬의 영업에 대해 $e^n$보다 더 나은 곱셈 근사 요인을 달성할 수 있는 결정적 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 기초가 되는 그래프가 일정 차수의 확산기인 경우 영업에 대해 다항 시간 근사 알고리즘을 달성할 수 있는가?
• RQ3 부분 매칭에 대한 결정적 수세기 기법을 어떻게 확장하여 영업을 근사할 수 있는가?
• RQ4 확산기 분해를 사용하여 일반 0-1 행렬에 대한 결정적 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 영업 계산의 결정적 설정에서 근사 요인과 실행 시간 사이의 최적의 트레이드오프는 무엇인가?

주요 결과

• 일정 차수의 확산기 그래프의 경우, 알고리즘은 다항 시간 내에 $(1+\epsilon)^n$의 곱셈 근사치를 달성한다.
• 일반 0-1 행렬의 경우, 알고리즘은 동일한 $(1+\epsilon)^n$ 근사 요인을 $\exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$의 시간 내에 달성한다.
• 실행 시간에서 $\epsilon$에 대한 의존성은 $\exp(O(\epsilon^{-1/2}))$이며, 이는 $n$에 대해 지수적일지라도 다항 시간은 아니다.
• 고정된 $\epsilon > 0$에 대해 [LSW00]의 $e^n$ 근사 요인보다 훨씬 나은 요인을 제공하므로, 확산기의 경우 이에 대한 개선이다.
• 재귀적 분해 전략은 하위문제 간의 전체 근사 요인이 곱셈적으로 유지됨을 보장한다.
• 분석은 이항 계수와 재귀 하위문제 크기의 경계에 의존하며, 최종적으로 실행 시간에 대한 $\exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$의 경계를 증명한다.