[논문 리뷰] A development of Lagrange interpolation, Part I: Theory

Mehdi Delkhosh, Kourosh Parand외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 27.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 및 비선형 다차원 미분방정식을 해결하기 위한 새로운 스펙트럼 방법인 개발된 라그랑주 보간법(DLI)을 소개한다. 새로운 함수 클래스인 개발된 라그랑주 함수(DLF)를 정의함으로써, 보간 점에서 크로네커 델타 성질을 만족시키며, 고차 미분 작동 행렬을 도출하고, 복소선적분 기반 오차 분석을 수립함으로써 지수 수렴과 비유계 도메인 및 특이 문제에 대한 유연성을 달성한다.

ABSTRACT

In this work, we introduce the new class of functions which can use to solve the nonlinear/linear multi-dimensional differential equations. Based on these functions, a numerical method is provided which is called the Developed Lagrange Interpolation (DLI). For this, firstly, we define the new class of the functions, called the Developed Lagrange Functions (DLFs), which satisfy in the Kronecker Delta at the collocation points. Then, for the DLFs, the first-order derivative operational matrix of $ extbf{D}^{(1)}$ is obtained, and a recurrence relation is provided to compute the high-order derivative operational matrices of $ extbf{D}^{(m)}$, $m\in \mathbb{N}$; that is, we develop the theorem of the derivative operational matrices of the classical Lagrange polynomials for the DLFs and show that the relation of $ extbf{D}^{(m)}=( extbf{D}^{(1)})^{m}$ for the DLFs is not established and is developable. Finally, we develop the error analysis of the classical Lagrange interpolation for the developed Lagrange interpolation. Finally, for demonstrating the convergence and efficiency of the DLI, some well-known differential equations, which are applicable in applied sciences, have been investigated based upon the various choices of the points of interpolation/collocation.

연구 동기 및 목표

• 선형 및 비선형 다차원 미분방정식을 더 높은 정확도와 효율성으로 해결하기 위한 새로운 스펙트럼 방법을 개발하기 위해.
• 보간 점에서 크로네커 델타 조건을 만족하는 새로운 기저 함수 클래스인 개발된 라그랑주 함수(DLF)를 정의하기 위해.
• DLF에 대한 도함수 작동 행렬을 유도하여 스펙트럼 방법에서 고차 미분 근사화를 가능하게 하기 위해.
• 복소선적분을 이용한 잔여 이론을 활용하여 고전적 라그랑주 보간의 오차 분석을 개발된 프레임워크로 확장하기 위해.
• 비유계 도메인 및 무한 경계 조건을 가진 문제에 대한 방법의 적용 가능성을 보여주기 위해.

제안 방법

• 미분 가능 함수 $\psi_i(x)$ 를 사용하여 보간 점을 변환함으로써 정의된 개발된 라그랑주 함수(DLF)를 도입하며, 이는 $i \neq j$ 일 때 $\psi_i(x_j) \neq \psi_i(x_i)$ 이고 $\psi_i'(x_i) \neq 0$ 를 만족한다.
• 보간 점 $x_i$ 에서 DLF에 대해 크로네커 델타 성질 $L_j^\psi(x_i) = \delta_{ij}$ 를 수립한다.
• DLF에 대한 일阶 도함수 작동 행렬 $\mathbf{D}^{(1)}$ 을 유도하고, $m \in \mathbb{N}$ 인 고차 미분 행렬 $\mathbf{D}^{(m)}$ 을 계산하기 위한 재귀 관계를 제시한다.
• DLF에 대해서는 $\mathbf{D}^{(m)} = (\mathbf{D}^{(1)})^m$ 이 성립하지 않음을 입증하여, 고전적 라그랑주 다항식과의 본질적 차이를 보여준다.
• 잔여 이론을 활용하여 보간 함수와 오차 항에 대한 복소선적분 표현을 개발한다.
• 선적분 기반 오차 공식을 제공한다: $u_N(x) - u(x) = \frac{1}{N+1}\sum_{j=0}^{N}\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{\psi_j'(t)w^\psi(x)u(t)}{w^\psi(t)(\psi_j(x) - \psi_j(t))}dt$, 여기서 $\Gamma$ 는 모든 $\psi_j(x_j)$ 와 $\psi_j(x)$ 를 둘러싸고 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크로네커 델타 성질을 유지하면서도 스펙트럼 방법에서 효율적인 도함수 계산을 가능하게 하는 새로운 보간 함수 클래스를 구성할 수 있는가?
• RQ2 새로운 DLF에 대한 도함수 작동 행렬은 고전적 라그랑주 다항식의 것과 어떻게 다를까? 특히 $\mathbf{D}^{(m)} = (\mathbf{D}^{(1)})^m$ 관계의 성립 여부 측면에서.
• RQ3 개발된 라그랑주 보간의 오차는 어떤 구조를 가지며, 복소선적분을 통해 표현할 수 있는가?
• RQ4 DLM 방법은 비유계 도메인 또는 무한 경계 조건을 가진 미분방정식에 적용될 수 있는가?
• RQ5 DLI의 수렴 행동은 고전적 라그랑주 보간과 비교해 어떻게 되는가? 특히 지수 수렴 측면에서.

주요 결과

• 개발된 라그랑주 함수(DLF)는 보간 점에서 크로네커 델타 성질 $L_j^\psi(x_i) = \delta_{ij}$ 를 만족하여, 미분방정식의 효율적 보간 기반 해법을 가능하게 한다.
• DLF에 대한 일阶 도함수 작동 행렬 $\mathbf{D}^{(1)}$ 이 유도되었으며, $m \in \mathbb{N}$ 인 고차 도함수 행렬 $\mathbf{D}^{(m)}$ 을 계산하기 위한 재귀 관계가 수립되었다.
• $\mathbf{D}^{(m)} = (\mathbf{D}^{(1)})^m$ 관계가 DLF에 대해 성립하지 않음을 확인하여, 고전적 라그랑주 다항식을 초월한 비트ivial한 일반화임을 나타낸다.
• 보간 오차에 대한 복소선적분 표현이 유도되었으며, $u_N(x) - u(x) = \frac{1}{N+1}\sum_{j=0}^{N}\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{\psi_j'(t)w^\psi(x)u(t)}{w^\psi(t)(\psi_j(x) - \psi_j(t))}dt$ 를 만족한다. 여기서 $\Gamma$ 는 모든 $\psi_j(x_j)$ 와 $\psi_j(x)$ 를 둘러싸고 있다.
• 함수 $\psi_i(x)$ 의 선택에 대한 민첩성 덕분에 방법은 지수 수렴을 보이며, 비유계 도메인 및 무한 경계 조건을 가진 문제에 적용 가능하다.
• 제안된 DLI 프레임워크는 계산 비용을 줄이고 정확도를 높이며, 다차원 미분방정식을 해결하기 위한 강력하고 전역적이며 메쉬 기반의 스펙트럼 방법을 가능하게 한다.