[논문 리뷰] A DG-enhancement of D(QCoh(X)) with applications in deformation theory

Francesco Meazzini|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원의 노에테르이자 분리 가능한 스킴 X에 대해, 유한한 아핀 열린 덮개에 관련된 링의 다이어그램 A·을 사용하여 D(QCoh(X))의 명시적 DG-강화를 구축한다. 준가역층 F의 유도 종말복소에 대한 세 가지 명시적 모델을 제공하며, 국소적으로 자유스러운 해상표가 없더라도 F의 무한소 변형을 제어하는 DG-리 대수의 구조를 부여한다. 주요 결과는 F의 변형 함자 Def_F와 F의 종말복소의 DG-리 대수의 머티어-카르탕 함자 사이의 동치를 확립하며, 이는 전통적인 결과를 매끄럽고 프로젝티브인 경우를 초월하여 일반적인 준가역층으로 일반화한다.

ABSTRACT

It is well-known that DG-enhancements of D(QCoh(X)) are all equivalent to each other, see [23]. Here we present an explicit model which leads to applications in deformation theory. In particular, we shall describe three models for derived endomorphisms of a quasi-coherent sheaf F on a finite-dimensional Noetherian separated scheme (even if F does not admit a locally free resolution). Moreover, these complexes are endowed with DG-Lie algebra structures, which we prove to control infinitesimal deformations of F.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원의 노에테르이자 분리 가능한 스킴 X에 대해 유도 범주 D(QCoh(X))의 명시적 DG-강화를 제공한다.
• 국소적으로 자유스러운 해상표가 없는 경우에도 준가역층 F의 유도 종말복소 ℝHom(F,F)에 대한 세 가지 명시적 모델을 구축한다.
• 이 모델들에 F의 무한소 변형을 지배하는 DG-리 대수의 구조를 도입한다.
• F의 변형 함자 Def_F와 종말복소의 DG-리 대수의 머티어-카르탕 함자 사이의 동치를 확립하며, 기존의 결과를 매끄럽고 프로젝티브인 경우를 초월하여 일반화한다.

제안 방법

• 스킴 X의 유한한 아핀 열린 덮개의 네르브에 따라 인덱스가 매겨진 링의 다이어그램 A·을 구성하며, 각 단체 α에 대해 Aα = Γ(Uα, O_X)를 할당한다.
• 약한 동치가 점별 준위이sov의 동치인 cofibrantly generated 모델 구조를 A·-모듈러의 범주 Mod(A·)에 도입한다.
• 전이 사상 gαβ가 준위이sov의 동치인 경우를 통해 다이어그램 설정에서의 준가역성의 일반화로, 준가역 A·-모듈러를 정의한다.
• 유도된 푸시포워드 및 풀백 구조를 통해 준가역 A·-모듈러의 호모토피 범주와 D(QCoh(X)) 사이의 동치를 확립한다.
• ℝHom(F,F)에 대한 세 모델을 구성한다: A·-모듈러를 통한 것, Thom-Whitney 총합을 통한 것, 그리고 가능할 경우 국소적으로 자유스러운 해상표를 통한 것.
• 유도 종말복소에 DG-리 대수의 구조를 도입하고, 머티어-카르탕 방정식을 통해 F의 무한소 변형을 제어함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄럽거나 프로젝티브라는 가정 없이, 일반적인 유한 차원의 노에테르이자 분리 가능한 스킴 X에 대해 D(QCoh(X))의 명시적 DG-강화를 구성할 수 있는가?
• RQ2 국소적으로 자유스러운 해상표가 없는 준가역층 F에 대해, 유도 종말복소 ℝHom(F,F)를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 유도 종말복소에 대한 DG-리 대수의 구조가 F의 무한소 변형을 제어하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 국소적으로 자유스러운 해상표가 없더라도, 변형 함자 Def_F와 종말복소의 DG-리 대수의 머티어-카르탕 함자 사이의 동치가 성립하는가?
• RQ5 기존의 Ext^1과 Ext^2를 통한 변형 이론적 제어가 이 새로운 모델을 통해 복구되고 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 준가역 A·-모듈러의 호모토피 범주는 D(QCoh(X))와 동치이며, 이는 유도 범주의 명시적 DG-강화를 제공한다.
• ℝHom(F,F)에 대한 세 가지 명시적 모델이 구성된다: A·-모듈러를 통한 것, Thom-Whitney 총합을 통한 것, 그리고 국소적으로 자유스러운 해상표가 존재할 경우의 것.
• 유도 종말복소는 F의 무한소 변형을 제어하는 자연스러운 DG-리 대수의 구조를 지닌다.
• F가 국소적으로 자유스러운 해상표가 없더라도, 변형 함자 Def_F는 종말복소의 DG-리 대수의 머티어-카르탕 함자와 동치이다.
• 기존의 결과 T¹Def_F ≅ Ext¹(F,F)와 Ext²(F,F)에서의 장애물은 이 틀을 통해 복구되고 일반화된다.