[논문 리뷰] A diagrammatic category for generalized Bott-Samelson bimodules and a diagrammatic categorification of induced trivial modules for Hecke algebras

Ben Elias|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 10.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 Bott-Samelson 이중모듈러스를 통해 다이어그램적 카테고리화를 일반화된 Bott-Samelson 이중모듈러스로 확장한다. 이는 임의의 포화 부분군 $W_J \subset S_n$에 대해 $R \otimes_{R^J} R$ 가 생성하는 $R$-이중모듈러스의 부분카테고리에 대한 다이어그램적 표현을 제공하고, 히크 대수의 유도된 자명 표현의 다이어그램적 카테고리화를 구축한다. 핵심 결과는 높은 코엑스터 이론과 투영/포함 사상들을 사용하여 $W_J$의 최장 원소의 기약 표현에 대해 $M_x \circ M_y$ 의 복합을 명시적으로 계산하는 것이다.

ABSTRACT

Let $R$ be the polynomial ring of the reflection representation of $W=S_n$, and for any parabolic subgroup $W_J \subset W$ corresponding to a subset $J$ of the Dynkin diagram, let $R^J$ be the subring of polynomials invariant under $W_J$. When $J=\{i\}$ is a singleton, denote the ring $R^i$ and the corresponding reflection $s_i$. Previously, in joint work with Mikhail Khovanov, the subcategory of $R$-bimodules generated monoidally by $R \otimes_{R^i} R$ for arbitrary $i$ was given a diagrammatic presentation, so that morphisms may be viewed as labelled planar graphs. Here, a diagrammatic presentation is given for the subcategory generated by $R \otimes_{R^J} R$ for arbitrary $J$, extending the previous diagrammatics. In addition, a diagrammatic presentation is given for a certain subcategory of $R^J-R$-bimodules which categorifies the representation of the Hecke algebra of $W$ constructed by inducing the trivial representation of the Hecke algebra of $W_J$. Whenever $x=s_{i_1}s_{i_2}\... s_{i_d}$ is a reduced expression for the longest element of $W_J$, the $R$-bimodule $R \otimes_{R^J} R$ will be a direct summand of $M_x = R \otimes_{R^{i_1}} R \otimes_{R^{i_2}} R \otimes \... \otimes_{R^{i_d}} R$. The key result is an explicit computation of the map $M_x o M_y$, for two reduced expressions $x,y$ of the longest element, given by projecting $M_x o R \otimes_{R^J} R$ and including $R \otimes_{R^J} R o M_y$. The construction of this map uses the higher Coxeter theory of Manin and Schechtman.

연구 동기 및 목표

• 단일 반사에서부터 임의의 포화 부분군 $W_J \subset S_n$으로 $R$-이중모듈러스의 다이어그램적 표현을 확장하기.
• 히크 대수의 $W_J$에서 자명 표현을 유도하여 얻는 표현에 대한 다이어그램적 카테고리화를 구축하기.
• 최장 원소 $W_J$의 기약 표현 $x,y$에 대해 $M_x \circ M_y$ 의 명시적 기술 제공하기.
• 이전의 $R \otimes_{R^i} R$ 기반 다이어그램 이론을 임의의 $J$에 대해 $R \otimes_{R^J} R$ 경우로 일반화하기.
• Manin과 Schechtman의 높은 코엑스터 이론을 적용하여 카테고리화된 설정에서의 사상 복합을 계산하기.

제안 방법

• 반사 표현의 다항식 환 $R$ 과 그 $W_J$-불변 부분환 $R^J$ 을 사용하여 일반화된 Bott-Samelson 이중모듈러스 정의하기.
• 라벨이 부여된 평면 그래프를 사용하여 $R \otimes_{R^J} R$ 가 생성하는 부분카테고리의 다이어그램적 표현 구축하기.
• 히크 대수의 $W$에서의 자명 표현을 유도한 표현을 카테고리화하는 $R^J$-$R$-이중모듈러스의 부분카테고리 정의하기.
• 사상을 히크 대수의 생성자와 관계에 대응하는 라벨이 부여된 평면 다이어그램으로 표현하기.
• 높은 코엑스터 이론을 적용하여 $M_x \circ M_y$ 의 복합을 $M_x \otimes R \otimes_{R^J} R$ 의 투영과 $R \otimes_{R^J} R \otimes M_y$ 의 포함을 통해 계산하기.
• 임의의 최장 원소 $W_J$ 의 기약 표현 $x = s_{i_1} \cdots s_{i_d}$ 에 대해 $R \otimes_{R^J} R$ 이 $M_x = R \otimes_{R^{i_1}} R \otimes \cdots \otimes_{R^{i_d}} R$ 의 직접 합성분임을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $R$-이중모듈러스의 다이어그램적 표현을 단일 반사에서 임의의 포화 부분군 $W_J$ 로 확장할 수 있는가?
• RQ2 히크 대수의 $W$에서의 유도된 자명 표현을 카테고리화하는 $R^J$-$R$-이중모듈러스의 부분카테고리의 다이어그램적 구조는 무엇인가?
• RQ3 최장 원소 $W_J$ 의 기약 표현 $x,y$ 에 대해 $M_x \circ M_y$ 는 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 높은 코엑스터 이론은 이 카테고리화된 설정에서 사상 복합을 계산하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 $R \otimes_{R^J} R$ 이 $M_x$ 의 직접 합성분으로 포함되는 것은 카테고리의 다이어그램적 구조와 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• $R \otimes_{R^J} R$ 가 생성하는 $R$-이중모듈러스의 부분카테고리는 라벨이 부여된 평면 그래프를 사용한 다이어그램적 표현을 갖는다.
• 히크 대수의 $W_J$ 의 자명 표현을 유도하여 얻는 표현에 대한 다이어그램적 카테고리화가 구축된다.
• 최장 원소 $W_J$ 의 기약 표현 $x,y$ 에 대해 $M_x \circ M_y$ 는 투영 및 포함 사상들을 통해 복합이 계산된다.
• $M_x \circ M_y$ 는 $M_x \otimes R \otimes_{R^J} R$ 의 투영과 $R \otimes_{R^J} R \otimes M_y$ 의 포함을 통해 명시적으로 실현된다.
• 이 구성은 사상 복합의 구조를 다루기 위해 Manin과 Schechtman의 높은 코엑스터 이론에 의존한다.
• 모든 최장 원소 $W_J$ 의 기약 표현에 대해 $R$-이중모듈러스 $R \otimes_{R^J} R$ 가 $M_x = R \otimes_{R^{i_1}} R \otimes \cdots \otimes_{R^{i_d}} R$ 의 직접 합성분임이 입증된다.