[논문 리뷰] A diagrammatic method to compute the effective Hamiltonian of driven nonlinear oscillators

Xu Xiao, Jayameenakshi Venkatraman외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 26.

Quantum Information and Cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자기적으로 일致하는 위상공간 섭동 전개를 사용하여 구동 비선형 진동자의 효과적 해밀토니안을 계산하기 위한 새로운 다이어그램적 방법을 제안한다. 각 다이어그램은 위상수 계수로 유도된 계수를 가진 해밀토니안 항에 해당하며, 임의의 차수까지 자동 계산이 가능하고, $\hat{\hbar}\rightarrow0$ 극한에서 기존의 Schrieffer-Wolff 및 고전적 조화 균형 방법과 일致함을 보여준다.

ABSTRACT

In this work, we present a new diagrammatic method for computing the effective Hamiltonian of driven nonlinear oscillators. At the heart of our method is a self-consistent perturbation expansion developed in phase space, which establishes a direct correspondence between the diagram and algebra. Each diagram corresponds to a Hamiltonian term, the prefactor of which, like those in Feynman diagrams, involves a simple counting of topologically equivalent diagrams. Leveraging the algorithmic simplicity of our diagrammatic method, we provide a readily available computer program that generates the effective Hamiltonian to arbitrary order. We show the consistency of our schemes with existing perturbation methods such as the Schrieffer-Wolff method. Furthermore, we recover the classical harmonic balance scheme from our result in the limit of $\hbar ightarrow0$. Our method contributes to the understanding of dynamic control within quantum systems and achieves precision essential for advancing future quantum information processors. To demonstrate its value and versatility, we analyze five examples from the field of superconducting circuits. These include an experimental proposal for the Hamiltonian stabilization of a three-legged Schrödinger cat, modeling of energy renormalization phenomena in superconducting circuits experiments, a comprehensive characterization of multiphoton resonances in a driven transmon, a proposal for an inductively shunted transmon circuit, and a characterization of classical ultra-subharmonic bifurcation in driven oscillators. Lastly, we benchmark the performance of our method by comparing it with experimental data and exact Floquet numerical diagonalization.

연구 동기 및 목표

• 구동 비선형 진동자의 효과적 해밀토니안을 양자 시스템에서 체계적으로 다이어그램적으로 계산하기 위한 방법을 개발하는 것.
• 다이어그램 위상과 해밀토니안의 대수적 항 사이의 직접적 대응을 수립하여 섭동 계산을 단순화하는 것.
• 임의의 차수까지 효과적 해밀토니안을 생성할 수 있는 계산적으로 효율적이고 확장 가능한 알고리즘을 제공하는 것.
• Schrieffer-Wolff 변환과 고전적 조화 균형과 같은 기존 방법들과 $\hat{\hbar}\rightarrow0$ 극한에서의 일致성을 확보하는 것.
• 초전도 회로 모델에서 실험 데이터와 정확한 플로케트 대각화와의 벤치마킹을 통해 방법을 검증하는 것.

제안 방법

• 기존의 시간 순서 또는 Dyson 급수 접근법을 피하기 위해 위상공간에 직접 설정된 자기적으로 일치하는 섭동 전개를 사용하는 방법.
• 각 다이어그램은 효과적 해밀토니안의 특정 항을 나타내며, 그 계수는 위상적으로 동일한 다이어그램의 수를 세어 결정된다.
• 위상공간의 생성 함수 형식에서 유도된 다이어그램 규칙을 통해 기여하는 모든 항을 체계적으로 나열할 수 있다.
• 임의의 원하는 차수까지 효과적 해밀토니안을 자동으로 생성하는 컴퓨터 프로그램으로 구현된다.
• 이 방법은 약한 결합 극한에서 자연스럽게 Schrieffer-Wolff 변환을 복원하며, $\hat{\hbar}\rightarrow0$로 갈수록 고전적 조화 균형 방법으로 축소된다.
• 이 형식은 초전도 회로의 다섯 가지 예제에 적용되었으며, 다광자 공진 및 양자 고양이 상태 안정화를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 다이어그램적 방법을 위상공간에서 체계적으로 구성하여 구동 비선형 진동자의 효과적 해밀토니안을 계산할 수 있는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 다이어그램 위상과 해밀토니안 항의 계수 사이의 정확한 대수적 대응은 무엇인가?
• RQ3 이 방법은 Schrieffer-Wolff 및 고전적 조화 균형과 같은 기존 섭동 프레임워크와 어떻게 일치하는가?
• RQ4 이 방법은 얼마나 자동화되고 임의의 차수의 섭동에 대해 확장 가능한가?
• RQ5 초전도 회로에서 정확한 수치적 대각화와 실험 데이터와의 비교를 통해 이 방법은 어떤 성능을 보이는가?

주요 결과

• 다이어그램적 방법은 약한 결합 극한에서 Schrieffer-Wolff 변환을 성공적으로 재현하여 기존 양자 섭동 이론과의 일치성을 확인한다.
• 고전적 극한($\hbar\rightarrow0$)에서 이 방법은 조화 균형 기법을 복원하여 고전적 대응을 검증한다.
• 전용 컴퓨터 프로그램을 통해 효과적 해밀토니안의 자동 고차 계산이 가능해져 수동 유도 과정의 노력이 크게 감소한다.
• 정확한 플로케트 대각화와의 비교에서 여러 초전도 회로 모델에서 에너지 준위 이동과 공진 구조에서 뛰어난 일치를 보였다.
• 이 방법은 에너지 재규격화, 다광자 공진, 초저조파 분열과 같은 복잡한 현상을 정확하게 모델링할 수 있다.
• 이 방법은 공학적 해밀토니안 제어를 통한 세 다리 고양이 상태 안정화와 같은 실험적 제안을 성공적으로 지원한다.