[논문 리뷰] A diagrammatic representation of an affine $C$ Temperley--Lieb algebra

Dana C. Ernst|ArXiv.org|2009. 05. 27.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $C$ 온전한 Temperley–Lieb 대수의 다이어그램 표현을, $\widetilde{C}_n$ 형식의 코xeter 군의 완전히 교환 가능한 원소로 인덱싱된 기저를 사용하여 무한 랭크의 결합 대수로서 구성한다. $W(B_n)$와 $W(\widetilde{C}_n)$의 약한 별 기약 원소를 분류함으로써, 저자는 귀납적 추론을 통해 다이어그램 호모모르피즘의 충실성을 확립하며, 유한 랭크의 경우에 적용 가능한 수량 기반 기법이 부재함에도 불구하고 단사성을 증명한다.

ABSTRACT

In this thesis, I present an associative diagram algebra that is a faithful representation of a particular Temperley--Lieb algebra of type affine $C$, which has a basis indexed by the fully commutative elements of the Coxeter group of the same type. The Coxeter group of type affine $C$ contains an infinite number of fully commutative elements, and so the corresponding Temperley--Lieb algebra is of infinite rank. With the exception of type affine $A$, all other generalized Temperley--Lieb algebras with known diagrammatic representations are of finite rank. In the finite rank case, counting arguments are employed to prove faithfulness, but these techniques are not available in the affine $C$ case. To prove faithfulness, I classify the fully commutative elements in Coxeter groups of types $B$ and affine $C$ that are irreducible under weak star reductions. The classification of these irreducible elements provides the groundwork for inductive arguments that are used to prove faithfulness. The classification of the weak star irreducible elements of type $B$ also verifies C.K. Fan's unproved claim about about the set of fully commutative elements in a Coxeter group of type $B$ having no generator appearing in the left or right descent set that can be left or right cancelled, respectively. The results of this thesis will be used to construct a trace on the Hecke algebra of type affine $C$, which will then be used to compute leading coefficients of certain Kazhdan--Lusztig polynomials in a non-recursive way.

연구 동기 및 목표

• 무한 수의 완전히 교환 가능한 원소를 포함하는 $W(\widetilde{C}_n)$로 인해 무한 랭크가 되는 온전한 $C$ Temperley–Lieb 대수의 다이어그램적 실현을 제공한다.
• 유한 랭크의 경우에 적용 가능한 전통적 수량 기반 기법이 부족한 무한 랭크 대수에서 충실성을 증명하는 데서 발생하는 제약을 극복하기 위해, 약한 별 기약 원소의 분류를 개발한다.
• C.K. Fan의 완전히 교환 가능한 원소에 대해 왼쪽/오른쪽 내림세트에 取소 가능한 생성자가 존재하지 않는다는 증명되지 않은 주장이 이 분류를 통해 확인된다.
• Kazhdan–Lusztig 다항식을 재귀적으로 계산하지 않고도 계산할 수 있도록, $\widetilde{C}_n$ 형식의 히드 대수에 대한 추적을 구성하는 데 기초를 마련한다.
• 다이어그램 대수 $\mathbb{D}_n$ 가 적절한 다이어그램으로 인덱싱된 기저를 형성함으로써, Temperley–Lieb 대수의 충실한 표현을 보장한다.

제안 방법

• 조합적 단순화와 힙 표현을 사용하여 $W(B_n)$와 $W(\widetilde{C}_n)$의 약한 별 기약 원소를 분류한다.
• 장식된 가짜 다이어그램을 갖는 다이어그램 대수 $\mathbb{D}_n$ 를 정의하며, 간단한 다이어그램을 곱셈 규칙을 통해 조립하여 다이어그램을 구성한다.
• 단항식을 적절한 다이어그램으로 매핑하는 호모모르피즘 $\theta: \mathrm{TL}(\widetilde{C}_n) \to \mathbb{D}_n$ 를 구성한다.
• 기약 원소에 기반한 귀납적 추론을 사용하여 서로 다른 단항식이 서로 다른 다이어그램으로 매핑됨을 증명함으로써 단사성을 확보한다.
• Bergman의 다이아몬드 보조정리를 적용하여, 적절한 다이어그램의 집합이 $\mathbb{D}_n$ 의 기저를 형성함을 검증한다.
• 힙 표현의 성질과 볼록 부분힙의 성질을 활용하여 다이어그램의 모서리 연결성과 장식 배치를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 랭크의 온전한 $C$ Temperley–Lieb 대수에 대해 충실한 다이어그램 표현을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 완전히 기약된 약한 별 원소의 전체 분류는 무엇이며, 그것이 충실성에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 이 분류를 통해 $W(B_n)$ 의 완전히 교환 가능한 원소에 대해 C.K. Fan 이 제기한 증명되지 않은 주장(왼쪽/오른쪽 내림세트에 취소 가능한 생성자가 존재하지 않음)을 확인할 수 있는가?
• RQ4 다이어그램 대수 $\mathbb{D}_n$ 와 $\mathrm{TL}(\widetilde{C}_n)$ 의 단항식 기저 사이의 관계는 무엇이며, 그것의 선형 독립성은 무엇에 의해 보장되는가?
• RQ5 다이어그램의 어떤 구조적 성질(예: 모서리 연결성, 장식 배치)이 $\theta$ 의 단사성에 필수적이고 충분한가?

주요 결과

• 다이어그램 대수 $\mathbb{D}_n$ 가 $\mathrm{TL}(\widetilde{C}_n)$ 의 충실한 표현임이 입증되었으며, 호모모르피즘 $\theta$ 는 단사적임이 확인되었다.
• $W(B_n)$ 의 약한 별 기약 원소의 분류를 통해 C.K. Fan 의 주장(왼쪽/오른쪽 내림세트에 취소 가능한 생성자가 존재하지 않음)이 확인되었다.
• $\mathbb{D}_n$ 의 적절한 다이어그램 집합은 기저를 형성하며, $\mathrm{TL}(\widetilde{C}_n)$ 의 각 단항식이 고유한 적절한 다이어그램으로 매핑됨이 입증되었다.
• $\theta$ 의 단사성은 기약 원소에 기반한 귀납적 감소 추론을 통해 확립되었으며, 이는 유한 수량 기반 기법의 부재를 회피한다.
• $\mathbf{a}$-값이 0인 다이어그램은 루프가 포함되어 있더라도 장식이 없으며, 이는 수정된 버전에서 명시적으로 명시되었다.
• 노드 1에서 $1'$ 으로 향하는 단일 $\blacktriangle$ 전파 모서리가 존재하는 다이어그램은 유형 I 또는 II 가 아닌 기약 원소로부터 유도될 수 없으며, 그러한 다이어그램이 존재한다면 모순이 발생한다.