[논문 리뷰] A diffuse interface model for two-phase incompressible flows with nonlocal interactions and nonconstant mobility

Sergio Frigeri, Maurizio Grasselli외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 26.

Solidification and crystal growth phenomena인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비정상적 Cahn-Hilliard 동역학, 비정상적 이동도, 그리고 특이 또는 다항형 잠재력이 있는 두상 불압축성 유동에 대한 확산 인터페이스 모델에 대해 전역 약한 해와 전역 초점집합의 존재를 확립한다. 분석은 2차원 및 3차원에서 비탄성 이동도와 탈탄성 이동도의 경우를 모두 포함하며, 에너지 추정과 컴팩트성 추론을 사용하여 비선형 스토크스와 비국소 Cahn-Hilliard 시스템의 해 존재성과 장기적 행동을 증명한다.

ABSTRACT

We consider a diffuse interface model for incompressible isothermal mixtures of two immiscible fluids with matched constant densities. This model consists of the Navier-Stokes system coupled with a convective nonlocal Cahn-Hilliard equation with non-constant mobility. We first prove the existence of a global weak solution in the case of non-degenerate mobilities and regular potentials of polynomial growth. Then we extend the result to degenerate mobilities and singular (e.g. logarithmic) potentials. In the latter case we also establish the existence of the global attractor in dimension two. Using a similar technique, we show that there is a global attractor for the convective nonlocal Cahn-Hilliard equation with degenerate mobility and singular potential in dimension three.

연구 동기 및 목표

• 비국소 Cahn-Hilliard 동역학과 비정상적 이동도를 지닌 두상 불압축성 유동에 대한 확산 인터페이스 모델에 대해 전역 약한 해의 존재를 확립한다.
• 물리적으로 중요한 상분리에 대해 탈탄성 이동도와 특이(로그형) 잠재력을 고려하여 존재 결과를 확장한다.
• 특이 잠재력이 있는 경우 2차원에서 시스템에 전역 초점집합의 존재를 증명하여 장기적 안정성과 수렴성을 확보한다.
• 3차원에서 탈탄성 이동도를 지닌 비국소 Cahn-Hilliard 방정식의 전역 초점집합 결과를 확장한다.
• 비국소 상호작용으로 인한 ϕ의 정규성 부족 문제를 다루며, 이는 Navier-Stokes 시스템에서 Korteweg 힘의 분석을 복잡하게 만든다.

제안 방법

• 비정상적 이동도를 지닌 비국소 Cahn-Hilliard 방정식과 Navier-Stokes 방정식을 결합한 확산 인터페이스 모델을 수립한다.
• 에너지 추정과 약한 공식화를 사용하여 농도 ϕ와 화학적 포텐셜 µ에 대한 사전 추정을 도출한다.
• 갈레르킨 근사에서의 극한을 취하기 위해 컴팩트성과 단조성 추론을 적용하여 약한 해 존재성을 확보한다.
• 탈탄성 이동도와 특이 잠재력을 다루기 위해 Λ(s) = ∫₀ˢ m(σ)F′′(σ)dσ를 포함하는 비선형 변환을 사용한다.
• Gronwall의 보조정리와 에너지 항등식을 사용하여 적절한 가정 하에 약한 해의 유일성을 증명한다.
• 이전의 국소 모델에 대한 연구에서 유도된 추론을 비국소 설정으로 확장하며, 비국소 연산자 (J∗ϕ)와 커널 a(x) = ∫Ω J(x−y)dy의 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정상적 이동도와 특이 잠재력을 지닌 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템에 대해 전역 약한 해를 확립할 수 있는가?
• RQ2 잠재력이 로그형이고 이동도가 탈탄성일 경우, 2차원에서 시스템이 전역 초점집합을 갖는가?
• RQ3 이동도가 순수 상에서 탈탄성일 경우, 해의 정규성과 장기적 행동 특성은 어떻게 되는가?
• RQ4 비국소 상호작용 항은 국소 경우와 비교해 약한 해의 존재성과 유일성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 3차원에서 탈탄성 이동도를 지닌 비국소 Cahn-Hilliard 방정식의 전역 초점집합을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 비탄성 이동도와 임의의 다항형 성장률을 지닌 정규 잠재력을 지닌 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템에 대해 전역 약한 해가 존재한다.
• 탈탄성 이동도와 특이(로그형) 잠재력을 지닌 시스템에 대해 2차원에서 전역 초점집합의 존재가 증명된다.
• 탈탄성 이동도와 특이 잠재력을 지닌 비국소 Cahn-Hilliard 방정식에 대해 3차원에서 전역 초점집합이 존재한다.
• 적절한 이동도 및 잠재력 가정 하에 2차원에서 정규 및 특이 잠재력에 대해 약한 해의 유일성이 증명된다.
• 근사 해에 대해 에너지 항등식이 유도되었으며, 이는 질량 보존과 자유 에너지의 소산을 보장한다.
• 전역 초점집합이 연결되어 있음을 증명하여 비국소 및 탈탄성 설정에서의 이전 초점집합 구조 결과를 확장한다.