[논문 리뷰] A Direct Approach to Noncrossed Product Division Algebras

Timo Hanke|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 07.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 중심 분할 대수와 그 자동형사상이 있는 대수 위에서 반복된 비틀린 로랑 급수환을 사용하여 비교형 분할 대수의 직접적 구성법을 제시한다. 자동형사상을 확장하고 비틀린 다항식 구성법을 적용함으로써, 인덱스 16, 지수 8인 분할 대수를 얻었으며, 이는 어떤 비교형 대수와도 동형이 아니므로 브라우어 군 내에서 비비틀린 제품의 구체적 예를 제공한다.

ABSTRACT

A valuation theoretic approach is presented that directly leads to division algebras that are noncrossed products (instead of, e.g., describing Brauer classes of noncrossed products in an abstract manner). While this feature is shared by Amitsur's original construction, the new approach works over small fields. It is further demonstrated how it can be used to obtain very explicit examples of noncrossed products in the form of iterated twisted function fields over division algebras over global fields. The examples allow even to write down structure constants of noncrossed products.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원 중심 분할 대수의 명시적 예를 제시하여 분할 대수 이론에서 오랫동안 남아 있던 질문에 답한다.
• 비틀린 다항식 및 로랑 급수환 이론을 정수의 양의 특성 수체 위에서 확장하여 비비틀린 제품을 구성한다.
• 브라우어 군이 비교형 대수로 생성되더라도, 모든 중심 단순 대수가 비교형 대수가 되는 것은 아님을 보여준다.
• 코homological 장벽이나 존재 정리에 의존하지 않고, 비비틀린 제품을 직접적으로 생성하는 방법을 제공한다.
• 반복된 비틀린 로랑 급수를 통해 구성된 특정 대수가 주어진 인덱스와 지수를 갖는 분할 대수임을 입증한다.

제안 방법

• 중심 분할 대수 $ D $ 와 $ k $-대수 자동형사상 $ ilde{ au} $ 를 갖춘 $ D( egmedspace(x; ilde{ au}) egmedspace) $ 라는 비틀린 로랑 급수환을, 비틀린 곱셈 규칙을 사용하여 구성한다.
• 새로운 미지수 $ x_1, x_2, x_3 $ 와 자동형사상 $ ilde{ au}_1, ilde{ au}_2, ilde{ au}_3 $ 을 도입하여 반복적으로 구성법을 확장하며, 호환성과 비가환성을 확보한다.
• 만약 $ D $ 가 분할 대수이고 $ ilde{ au} $ 가 자동형사상이라면 $ D(x; ilde{ au}) $ 는 분할환임을 이용하여 힐베르트의 구성법을 일반화한다.
• 특성 $ p $ 에서 아르틴-슈라이어 구성법을 적용하여 $ p $-확장을 구축하고, $ p $-대수 $ [a,b) $ 를 정의한다. 이는 차수 $ p $ 의 중심 분할 대수이다.
• 샐트먼의 $ p $-대수에 관한 보조정리를 활용하여, 만약 분할 대수가 정규 최대부분체를 포함한다면 반드시 갈로아 최대부분체를 포함해야 하며, 부분체가 갈로와가 아니라면 모순이 발생함을 보인다.
• 자기자신이 $ ilde{ au}_1 $ 과 $ ilde{ au}_2 $ 를 반전시키고, $ eta = ilde{ au}_1(eta) $ 에 대해 $ x_3 eta = -eta x_3 $ 를 만족시키는 자동형사상 $ ilde{ au}_3 $ 을 사용하여 비비틀린 구조를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차원 중심 분할 대수 중 어떤 비교형 대수와도 동형이 아닌 것이 존재하는가?
• RQ2 인덱스 16, 지수 8인 분할 대수가 비교형 대수가 아닌 채로 존재하는가?
• RQ3 반복된 비틀린 로랑 급수환을 통해 비비틀린 제품을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 분할 대수가 정규 최대부분체를 포함한다면, 언제나 갈로아 최대부분체를 포함하는가?
• RQ5 특성 0 이외의 체에서 $ p $-대수의 구조는 어떻게 비비틀린 제품을 구성하는 데 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 대수 $ A(x_3; \tilde{\tau}_3) = D'(x_1,x_2; \tilde{\tau}'_1,\tilde{\tau}'_2; u')(x_3; \tilde{\tau}_3) $ 는 인덱스 16, 지수 8인 분할 대수이다.
• 이 대수는 중심에 대해 갈로아인 엄밀히 최대 부분체를 포함하지 않기 때문에 어떤 비교형 대수와도 동형이 아니다.
• 이 구성법은 특성 2 또는 3이 아닌 체 위에서 명시적인 생성자와 관계를 갖는 비비틀린 제품 분할 대수를 제공한다.
• 자기자신 $ \tilde{\tau}_3 $ 은 $ x_1 $ 과 $ x_2 $ 에 비자명하게 작용하며, $ \beta = \tilde{\tau}_1(\beta) $ 에 대해 $ x_3 \beta = -\beta x_3 $ 를 만족시켜 비비틀린 행동을 보장한다.
• 증명은 샐트먼의 보조정리를 기반으로 하며, 만약 분할 대수가 정규 최대부분체를 포함한다면 반드시 갈로아 최대부분체를 포함해야 하며, 이는 부분체가 갈로와가 아니라면 모순이 발생함을 보여준다.
• 최종 대수는 비틀린 로랑 급수의 구조와 미지수 및 기본 대수 위에서 자동형사상의 비자명한 작용을 통해 분할환임을 입증한다.