[논문 리뷰] A direct product theorem for bounded-round public-coin randomized communication complexity

Rahul Jain, Attila Pereszlényi외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 08.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 41인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 자원이 $k$에 대해 비선형일 때, $k$개의 관계에 대한 문제를 풀기 위해 한 번의 문제를 풀 때의 통신량의 $\tilde{\mathrm{O}}(k/t)$ 배가 필요하다는 강력한 직접곱 정리(Strong Direct Product Theorem)를 증명한다. 이 결과는 정보이론적 기법, 메시지 압축, 상관 샘플링을 활용하며, 기존의 한 방향 프로토콜에 대한 연구를 일반적인 $t$-메시지 프로토콜으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we show a direct product theorm in the model of two-party bounded-round public-coin randomized communication complexity. For a relation f subset of X times Y times Z (X,Y,Z are finite sets), let R^{(t), pub}_e (f) denote the two-party t-message public-coin communication complexity of f with worst case error e. We show that for any relation f and positive integer k: R^{(t), pub}_{1 - 2^{-Omega(k/t^2)}}(f^k) = Omega(k/t (R^{(t), pub}_{1/3}(f) - O(t^2))) . In particular, it implies a strong direct product theorem for the two-party constant-message public-coin randomized communication complexity of all relations f. Our result for example implies a strong direct product theorem for the pointer chasing problem. This problem has been well studied for understanding round v/s communication trade-offs in both classical and quantum communication protocols. We show our result using information theoretic arguments. Our arguments and techniques build on the ones used in [Jain 2011], where a strong direct product theorem for the two-party one-way public-coin communication complexity of all relations is shown (that is the special case of our result when t=1). One key tool used in our work and also in [Jain 2011] is a message compression technique due to [Braverman and Rao 2011], who used it to show a direct sum theorem for the two-party bounded-round public-coin randomized communication complexity of all relations. Another important tool that we use is a correlated sampling protocol, which for example, has been used in [Holenstein 2007] for proving a parallel repetition theorem for two-prover games.

연구 동기 및 목표

• 유한 라운드 공개 코인 랜덤화된 통신 복잡도 모델에서 강력한 직접곱 정리를 확립하는 것.
• 자원이 $k$에 대해 비선형일 때, 관계의 독립적인 $k$개의 인스턴스를 풀기 위해 한 번의 인스턴스를 풀 때의 통신량의 $\Omega(k/t)$ 배가 필요하다는 것을 보이는 것.
• 정보이론적 도구를 사용하여 기존의 한 방향 직접곱 정리 결과를 일반적인 $t$-메시지 프로토콜로 확장하는 것.
• 포인터 추적과 같은 프로토콜에서 라운드 수 대비 통신량의 상호 교환 관계에 대한 열린 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 유한 라운드 프로토콜에서 입력과 메시지 사이의 상호정보량을 제한하기 위해 정보이론적 추론을 사용한다.
• Braverman와 Rao의 메시지 압축 기법을 적용하여 통신량을 줄인 채로 프로토콜을 시뮬레이션한다.
• 공유된 난수를 시뮬레이션하고 다중 인스턴스 환경에서의 오차를 제한하기 위해 상관 샘플링 프로토콜을 활용한다.
• 다중 인스턴스 프로토콜의 구조를 단일 인스턴스 프로토콜과 연결하기 위해 새로운 임bedding 추론 기법을 사용한다.
• 하이브리드 추론과 오차 분석을 통해 자원이 최적화되지 않은 프로토콜이 $k$개의 인스턴스에서 실패할 확률이 지수적으로 작아진다는 것을 보인다.
• 이러한 도구들을 통합하여 $f^k$의 통신 복잡도에 대한 하한을 $\mathrm{R}^{(t),\mathrm{pub}}_{1/3}(f)$ 기반으로 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자원이 $k$에 대해 비선형일 때, $t > 1$인 경우에도 $t$-메시지 공개 코인 통신 프로토콜에 대해 강력한 직접곱 정리를 증명할 수 있는가?
• RQ2 자원이 $k$에 대해 비선형일 때, 관계의 $k$개의 병렬 인스턴스의 통신 복잡도가 $k$에 대해 선형으로 증가하는가?
• RQ3 오차 항에서 $t$에 대한 의존도를 $O(t^2)$를 초월해 개선할 수 있는가?
• RQ4 한 방향 프로토콜에 사용된 기법을 일반적인 유한 라운드 프로토콜로 확장할 수 있는가?
• RQ5 포인터 추적 문제는 유한 라운드 공개 코인 모델에서 강력한 직접곱 정리를 만족하는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathrm{R}^{(t),\mathrm{pub}}_{1-2^{-\Omega(k/t^{2})}}(f^{k}) = \Omega\left(\frac{k}{t} \cdot \left(\mathrm{R}^{(t),\mathrm{pub}}_{1/3}(f) - \mathcal{O}(t^{2})\right)\right)$ 를 증명하여 강력한 직접곱 정리를 확립한다.
• 이 결과는 한 번의 인스턴스를 풀 때의 통신량의 $k/t$ 배 이하로 $k$개의 인스턴스를 풀 경우 성공 확률이 $k$에 대해 지수적으로 감소한다는 것을 의미한다.
• 직접곱 정리의 오차 매개변수는 $k/t^2$에 의존하며, 이는 인스턴스 수와 허용 가능한 오차 사이의 상호 교환 관계를 보여준다.
• 포인터 추적 문제는 유한 라운드 공개 코인 모델 하에서 강력한 직접곱 정리를 만족한다.
• 메시지 압축과 상관 샘플링을 활용하여 다중 라운드 프로토콜을 다룰 수 있도록 하여, Jain의 한 방향 결과를 일반화한 증명 기법을 제시한다.
• 분석 결과, 자원이 최적화되지 않은 모든 프로토콜은 오차가 일정한 경우에도 $k$개의 인스턴스를 모두 올바르게 계산할 확률이 높지 않다는 것을 보여준다.