[논문 리뷰] A discontinuous Galerkin method for strain gradient-dependent damage: Study of interpolations, convergence and two dimensional problems

Luisa Molari, Wells, G. N.외 2명|arXiv (Cornell University)|2004. 11. 02.

Numerical methods in engineering참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연신률 기울기 의존성 손상 모델을 위한 비연속 갈레르킨(DG) 방법을 제시하며, C⁰ 연속 보간 함수의 사용을 가능하게 하여 C¹ 요소가 필요로 하는 것을 회피함으로써 구현을 단순화하고 계산 비용을 절감한다. 이 방법은 최적의 수렴 속도를 보이며 다항식 차수에 관계없이 견고한 성능을 보이며, 2차원 문제에 성공적으로 적용되어 연속성 손상 시뮬레이션에서 메쉬 의존성을 효과적으로 제거한다.

ABSTRACT

A discontinuous Galerkin method has been developed for strain gradient-dependent damage. The strength of this method lies in the fact that it allows the use of $C^0$ interpolation functions for continuum theories involving higher-order derivatives, while in a conventional framework at least $C^1$ interpolations are required. The discontinuous Galerkin formulation thereby offers significant potential for engineering computations with strain gradient-dependent models. When using basis functions with a low degree of continuity, jump conditions arise at element edges which are incorporated in the weak form. In addition to the formulation itself, a detailed study of the convergence properties of the method for various element types is presented, an error analysis is undertaken, and the method is also shown to work in two dimensions.

연구 동기 및 목표

• 연신률 기울기 항을 통한 정규화를 활용하여 연신률 연화 손상 모델의 메쉬 의존성 문제를 해결한다.
• 연신률 기울기 모델에서 고차 미분방정식에 의해 요구되는 C¹ 연속 유한요소의 계산 부담을 완화한다.
• 변위 및 응력 유사 필드에 대해 C⁰ 또는 비연속 보간을 사용한 수치적으로 안정적이고 효율적인 유한요소 설정을 개발한다.
• 일차원 및 이차원에서 다양한 요소 유형과 다항식 차수에 대해 DG 설정의 수렴성과 견고성을 입증한다.
• 3점 bending 시험과 같은 벤치마크 문제에서 방법을 검증하여, 기울기 정규화를 통한 메쉬에 의존하지 않는 손상 국소화를 보여준다.

제안 방법

• 고차 도함수의 불연속성을 다루기 위해 요소 간면에서의 점프 항을 포함한 비연속 갈레르킨 약한 형태를 설정한다.
• 변위에 대해 C⁰ 연속 형상 함수를 사용하고, 응력 유사 필드에 추가 자유도를 도입하여 요소 간 비연속 보간을 가능하게 한다.
• 특히 기울기 의존 항에 대해 비표준 경계 조건을 약하게 강제하기 위해 약한 형태에 페널티 항을 도입한다.
• 손상 진전이 길이 척도 매개변수(c)에 의해 정규화되는 연신률 기울기 손상 모델에 이 방법을 적용한다.
• 비선형 시스템의 뉴턴-라프슨 해법을 가능하게 하기 위해 약한 형태에 일관된 선형화 체계를 구현한다.
• 선형화의 단순화를 위해 등가 응력의 일관된 정의(응력 텐서의 트레이스)를 사용하지만, 물리적 동기가 없음.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C⁰ 보간을 사용하는 비연속 갈레르킨 설정이 전통적으로 C¹ 연속성이 요구되는 연신률 기울기 의존성 손상 문제를 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 일차원 연신률 기울기 손상 문제에서 다양한 요소 유형과 다항식 차수에 대해 DG 방법의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ3 이차원 문제에서, 특히 메쉬에 의존하지 않는 손상 국소화를 포착하는 데에 이 방법은 어떤 성능을 보이는가?
• RQ4 매개변수 c를 통한 기울기 정규화의 포함이 연화 손상 시뮬레이션에서 메쉬 의존성을 어느 정도 제거하는가?
• RQ5 3점 bending 시험에서 기울기 효과 유무에 따라 굵은 메쉬와 미세 메쉬 간의 수치 결과는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 탄성 경우에서 DG 방법은 이론적 예측과 일치하는 최적의 수렴 속도를 달성하며, 분석적 및 수치적 연구로 확인되었다.
• 손상 문제에서는 이론적 수렴 속도가 공식적으로 확립되어 있지 않음에도 불구하고, 견고한 수렴 행동을 보였다.
• 다양한 요소 유형(P²/P¹, P¹/P⁰ 등)으로 계산된 손상 프로파일은 거의 동일하여 요소 선택에 대한 민감도가 낮고 설정의 견고성이 높음을 시사한다.
• 3점 bending 시험에서 기울기 의존성 있는 경우(c ≠ 0)는 굵은 메쉬와 미세 메쉬 모두에서 메쉬에 의존하지 않는 손상 윤곽선과 하중-변위 반응을 제공하였다.
• 반면, 기울기 없음 경우(c = 0)는 메쉬 의존성을 보였으며, 더 미세한 메쉬에서는 부적절한 제2차 균열이 발생하여 서로 다른 균열 패tern이 경쟁하면서 유사한 하중-변위 반응을 보였다.
• 이 방법은 페널티 항을 통해 비표준 경계 조건을 성공적으로 처리하였으며, 2차 변위 보간을 사용할 경우 비표준 조건은 구축 과정에서 자동으로 만족된다.