[논문 리뷰] A discrete Schrodinger equation via optimal transport on graphs

Shui-Nee Chow, Wuchen Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 22.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 24인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 이산 최적 운반 이론과 넬슨의 확률적 역학 접근법을 사용하여 유한 그래프 위에서 새로운 이산 비선형 슈뢰딩거 방정식을 유도한다. 비선형 그래프 라플라스 연산자와 이산 피셔 정보를 포함하는 해밀토니안 상미분방정식으로 시스템을 공식화함으로써 질량, 에너지, 기본 상태의 구조를 유지하며, 기하학적이고 구조를 유지하는 기존 이산화 방법의 대안을 제공한다.

ABSTRACT

In 1966, Edward Nelson presented an interesting derivation of the Schrodinger equation using Brownian motion. Recently, this derivation is linked to the theory of optimal transport, which shows that the Schrodinger equation is a Hamiltonian system on the probability density manifold equipped with the Wasserstein metric. In this paper, we consider similar matters on a finite graph. By using discrete optimal transport and its corresponding Nelson's approach, we derive a discrete Schrodinger equation on a finite graph. The proposed system is quite different from the commonly referred discretized Schrodinger equations. It is a system of nonlinear ordinary differential equations (ODEs) with many desirable properties. Several numerical examples are presented to illustrate the properties.

연구 동기 및 목표

• 최적 운반 이론을 사용하여 유한 그래프 위에서 기하학적이고 구조를 유지하는 이산 비선형 슈뢰딩거 방정식을 개발한다.
• 연속적인 NLS에서 보존 법칙과 대칭성을 깨는 기존 이산화 방법의 한계를 극복한다.
• 유한 그래프 환경에서 넬슨의 슈뢰딩거 방정식에 대한 확률적 유도의 이산 대응을 수립한다.
• 해밀토니안 행렬 공식화를 통해 이산 시스템의 기본 상태와 스펙트럼 안정성을 정의하고 분석한다.
• 제안된 시스템이 총 질량과 에너지를 보존하고 h→0일 때 연속 근사와 일치함을 보여준다.

제안 방법

• 벤아무-브레니에 프레임워크를 통해 웨이터슈타인 거리로 정의된 가중치가 있는 무방향 그래프 위에서 이산 최적 운반을 공식화한다.
• 확률 단체 위에서 변분 원리를 통해 그래프의 노드에서 확률 밀도 ρ_j와 위상 S_j에 대한 비선형 상미분방정식 시스템을 도출한다.
• 이산 피셔 정보 항 ℐ(ρ) = ½∑_{(j,l)∈E} ω_jl (log ρ_j − log ρ_l)² g_jl(ρ)을 도입하며, 여기서 g_jl(ρ) = (ρ_j + ρ_l)/2이다.
• 에너지 함수의 헤시안과 심플렉틱 구조를 사용하여 해밀토니안 시스템을 구성함으로써 심플렉틱 행렬 H^(2)를 도출한다.
• 복소수 파동함수 Ψ_j = √ρ_j e^{iS_j/h}를 재구성하여 그래프 위의 이산 NLS를 정의한다.
• 해밀토니안 행렬 H^(2) = [0, (1/n)L; −αI − (nh²/4)L, 0]의 고유값을 계산하여 기본 상태의 스펙트럼 안정성을 분석하고, 이를 그래프 라플라스 연산자 고유값과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 넬슨의 슈뢰딩거 방정식에 대한 확률적 유도를 이산 최적 운반을 통해 유한 그래프로 확장할 수 있는가?
• RQ2 유도된 이산 NLS가 질량과 에너지 보존과 같은 기본 물리적 성질을 유지하는가?
• RQ3 이산 피셔 정보와 비선형 그래프 라플라스 연산자가 시스템의 구조와 안정성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 플랑크 상수 h→0일 때 기본 상태의 거동는 어떠한가? 그리고 델타 측도로 수렴하는가?
• RQ5 그래프 라플라스 연산자로부터 구성된 심플렉틱 해밀토니안 행렬을 통해 기본 상태의 스펙트럼 안정성을 분석할 수 있는가?

주요 결과

• 유도된 시스템 (3)은 총 질량과 총 에너지를 보존하는 해밀토니안 상미분방정식 시스템으로, 장기적 안정성을 보장한다.
• 이전에 보고된 바가 없는 비선형 그래프 라플라스 연산자가 이산 NLS에 포함되어 있으며, 피셔 정보와 운반 거리 계측에 기인한다.
• 기본 상태 ρ^g는 ∑ⱼ V_j ρ_j + (h²/8)ℐ(ρ)을 최소화하며, 수치 결과는 h→0일 때 x=0에서 델타 측도로 수렴함을 보여준다.
• 2노드 그래프의 경우 위상도에서는 기본 상태 (½,½,0)가 스펙트럼적으로 안정하며, 그 주변에 닫힌 궤도가 존재한다.
• 해밀토니안 행렬 H^(2)의 고유값은 α_k^± = i√(λ_k²h²/4 + αλ_k/n)이며, 안정성이 성립하는 조건은 α > −(n/4)λ_k h²이다.
• 이 시스템은 두 개의 수정된 그래프 라플라스 연산자로 구성된 심플렉틱 구조를 가지며, 안정성의 스펙트럼 분석을 가능하게 한다.