[논문 리뷰] A discretize-then-map approach for the treatment of parameterized geometries in model order reduction

Tommaso Taddei, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 26.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 65인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 변화가 있는 매개변수화된 PDE의 모델 순서 감소(MOR)를 위한 이산화-이후-매핑(DtM) 방법을 제안한다. 여기서 고정밀도(HF) 유한요소(FE) 메시는 기준 도메인에 먼저 이산화되고, 온라인 단계에서 매개변수화된 매핑을 통해 변형된다. 이 방법은 임의의 적분을 사용하여 감소된 요소 집합을 선택함으로써 표준 FE 루틴을 수정하지 않고도 기존 HF 코드를 변경하지 않고도 효율적인 잔차 조립을 가능하게 하며, 표준 매핑-이후-이산화 접근 방식에 비해 높은 온라인 효율성과 구현의 간편성을 달성한다.

ABSTRACT

We present a general approach for the treatment of parameterized geometries in projection-based model order reduction. During the offline stage, given (i) a family of parameterized domains {Ωμ : μ ∈ P} ⊂ RD where μ ∈ P ⊂ RP denotes a vector of parameters, (ii) a parameterized mapping Φμ between a reference domain Ω and the parameter-dependent domain Ωμ, and (iii) a finite element triangulation of Ω, we resort to an empirical quadrature procedure to select a subset of the elements of the grid. During the online stage, we first use the mapping to “move” the nodes of the selected elements and then we use standard element-wise residual evaluation routines to evaluate the residual and possibly its Jacobian. We discuss how to devise an online-efficient reduced-order model and we discuss the differences with the more standard “map-then-discretize” approach (e.g., Rozza, Huynh, Patera, ACME, 2007); in particular, we show how the discretize-then-map framework greatly simplifies the implementation of the reduced-order model. We apply our approach to a two-dimensional potential flow problem past a parameterized airfoil, and to the two-dimensional RANS simulations of the flow past the Ahmed body.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 변화가 있는 도메인에서 매개변수화된 PDE에 대해 모델 순서 감소(MOR)를 효율적으로 수행하는 데 도전한다.
• HF 솔버를 수정해야 하며, 비일치 메시와 복잡한 변분 공식화로 인해 문제가 생길 수 있는 표준 매핑-이후-이산화(MtD) 접근 방식의 한계를 극복한다.
• 기존 고정밀도 유한요소 코드를 수정하지 않아도 되는 온라인 효율적인 감소된 순서 모델을 가능하게 한다.
• 약한 형태와 계수 항을 다시 구현하지 않아도 되므로, 비선형 PDE의 경우 특히 감소된 순서 모델의 구현을 단순화한다.
• 잔차 평가를 위한 임의의 적분과 이중 잔차 노름 추정을 통해 정확성과 강건성을 확보한다.

제안 방법

• 매개변수화된 매핑 Φµ를 적용하기 전에 고차의 등각적 유한요소(FE) 방법을 사용하여 기준 도메인 Ω에서 PDE를 이산화한다.
• 오프라인 단계에서 임의의 적분(EQ) 절차를 사용하여 온라인 잔차 평가를 위한 저차원 요소 하위집합(Ieq)을 선택한다.
• 온라인 단계에서 선택된 요소의 노드를 매핑 Φµ를 통해 변형하고, 표준 요소 수준의 잔차 평가 루틴을 재사용한다.
• 변형된 메시와 임의의 적분 가중치를 사용하여 잔차와 그 자코비안을 효율적으로 근사함으로써 감소된 순서 모델을 구성한다.
• 강한 및 약한 강제 방식 모두에 적합한 리프팅 함수(제어 함수 방법)를 사용하여 비균일 딜레르흐 경계 조건을 강제한다.
• 임의의 시험 공간과 적분 가중치를 사용하여 이중 잔차 노름을 추정함으로써, 전체 HF 문제를 풀지 않고도 온라인 오차 추정을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 고정밀도 유한요소 코드를 수정하지 않고도 매개변수화된 기하학에 대해 모델 순서 감소를 효율적으로 적용할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 매핑 이후 이산화하는 것과 비교해 이산화 이후 매핑하는 방식의 구현 및 계산적 이점은 무엇인가?
• RQ3 임의의 적분을 사용하여 매개변수화된 기하학에 대한 감소된 순서 모델의 잔차 조립 계산 비용을 효과적으로 줄일 수 있는가?
• RQ4 이중 노름과 임의의 시험 공간을 사용하여 이산화-이후-매핑 프레임워크에서 정확한 온라인 오차 추정을 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ5 DtM 접근 방식이 라우멘-난스(RANS) 방정식과 같은 비선형 PDE에 대해 정확성과 수렴성을 얼마나 잘 유지하는가?

주요 결과

• 이산화-이후-매핑(DtM) 접근 방식은 기존 고정밀도 유한요소 솔버를 수정하지 않고도 온라인 효율적인 감소된 순서 모델을 가능하게 한다.
• 임의의 적분은 아하메드 바디 문제에서 총 메시 요소의 10퍼센트 미만으로 잔차 조립에 사용되는 요소 수를 줄여 높은 계산 효율성을 달성한다.
• 이중 잔차 노름 추정은 정확한 온라인 오차 제어를 가능하게 하며, 잠재류 흐름과 RANS 시험 케이스 양쪽에서 추정된 잔차가 진짜 상대 H1 오차를 잘 따라간다.
• 이 방법은 감소된 통합 도메인(RID)이 매핑의 군집화된 분할에 부합할 필요가 없어도 높은 정확성을 유지한다. 이는 MtD 접근 방식과 대조된다.
• 아하메드 바디의 2차원 RANS 시뮬레이션에서, SUPG, LSIC, PSPG 안정화를 포함한 비선형 안정화된 유한요소 공식화를 효과적으로 처리하여 복잡한 유동에 대한 강건성을 입증한다.
• 변수 계수를 가진 약한 형태를 다시 유도하지 않아도 되므로, 비선형 문제에 특히 유리한 방식으로 구현을 단순화한다.