[논문 리뷰] A Distributed Observer for a Continuous-Time Linear System with time-varying network

Lili Wang, Ji Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 03.

Distributed Control Multi-Agent Systems참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 네트워크를 갖는 연속시간 선형 시스템에 대해 분산 관측기를 제안한다. 각 에이전트는 국소 측정값과 이웃 간 통신을 통해 전반적인 상태를 추정한다. 이득 $ g $ 를 설계함으로써, 네트워크가 강하게 연결되어 있고 시스템이 공동으로 관측 가능하다면, 전이 위상이 변화하더라도 추정 오차가 사전에 지정된 속도로 지수적으로 0으로 수렴하도록 보장한다.

ABSTRACT

A simply structured distributed observer is described for estimating the state of a continuous-time, jointly observable, input-free, linear system whose sensed outputs are distributed across a time-varying network. It is explained how to design a gain $g$ in the observer so that their state estimation errors all converge exponentially fast to zero at a fixed, but arbitrarily chosen rate provided the network's graph is strongly connected for all time. A linear inequality for $g$ is provided when the network's graph is switching according to a switching signal with a dwell time or an average dwell time, respectively. It has also been shown the existence of $g$ when the stochastic matrix of the network's graph is chosen to be doubly stochastic under arbitrarily switching signals. This is accomplished by exploiting several well-known properties of invariant subspaces and properties of perturbed systems.

연구 동기 및 목표

• 통신 네트워크 위상이 시간에 따라 변하는 연속시간 선형 시스템에서 분산 상태 추정의 과제를 해결하기 위해.
• 기존의 고정 위상 네트워크를 위한 분산 관측기를 시간에 따라 변하는 네트워크로 확장하면서 추정 오차의 지수적 수렴을 유지하기 위해.
• 사용자가 정의한 속도 $ \lambda $ 에서 지수적 수렴을 보장하는 관측기 이득 $ g $ 에 대한 명시적 조건을 제공하기 위해.
• 일정 시간 또는 평균 일정 시간 제약 조건이 있는 전이 위상이 있는 네트워크 위상에서 추정 오차 동역학의 안정성을 분석하기 위해.
• 네트워크의 전이 행렬이 이중 스 tochastic 인 경우, 임의의 전이 위상에서도 지수적 수렴이 가능해지는 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 각 에이전트가 자신의 출력과 이웃 상태를 사용하는 분산 관측기를 설계한다: $ \dot{x}_i = (A + K_i C_i)x_i - K_i y_i - g P_i \left( x_i - \frac{1}{m_i} \sum_{j \in \mathcal{N}_i} x_j \right) $.
• 오차 동역학을 분석하고 수렴을 보장하기 위해 불변 부분공간과 관측 불가능 부분공간의 성질을 활용한다.
• 이득 $ g $ 를 도입하여 행렬 $ A_V(\sigma(t)) $ 의 고유치의 실수부가 $ -\lambda $ 보다 작게 만들어 오차 시스템을 안정화함으로써 지수적 감쇠를 가능하게 한다.
• 행렬 섭동 이론과 리아푸노프 분석을 적용하여 전이 행렬 $ \Phi_V(t,\tau) $ 의 경계를 도출하고, $ \|\Phi_V(t,\tau)\| \leq c e^{-\lambda(t-\tau)} $ 를 보여준다.
• 스스로의 행렬 $ 2I_m - S(\sigma(t)) - S^\top(\sigma(t)) $ 의 구조를 활용하며, 이는 $ S(\sigma(t)) $ 가 이중 스 tochastic 이면 음의 정부호임을 보여준다.
• 평균화 기법과 전이 시스템 이론을 활용하여 일정 시간 또는 평균 일정 시간 제약 조건 하에서 수렴을 보장하는 선형 부등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 통신 네트워크를 갖는 연속시간 선형 시스템에서 상태 추정 오차의 지수적 수렴을 보장할 수 있는 분산 관측기를 설계할 수 있는가?
• RQ2 전이 위상이 있는 조건에서 네트워크 위상과 관측기 이득 $ g $ 에 어떤 조건이 필요하여 사전에 지정된 속도 $ \lambda $ 에서 지수적 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ3 이중 스 tochastic 네트워크 행렬의 선택이 임의의 전이 위상 하에서 분산 관측기의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 관측 불가능 부분공간과 불변 부분공간 성질이 분산 관측기의 설계 및 분석에서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 강한 연결성 등의 특정 네트워크 제약 조건이 충족된다면, 네트워크 전이 패tern과 무관하게 수렴 속도를 독립적으로 설정할 수 있는가?

주요 결과

• 일정 시간 $ \tau_D $ 를 갖는 모든 전이 신호에 대해, 추정 오차가 사용자가 정의한 속도 $ \lambda $ 로 지수적으로 0으로 수렴하도록 보장하는 양의 이득 $ g $ 가 존재한다. 조건은 $ g \geq \frac{\ln c + \lambda \tau_D}{\lambda^* \tau_D} $ 를 만족해야 한다.
• 평균 일정 시간 $ \tau_D $ 조건 하에서, $ g $ 에 대한 유사한 선형 부등식이 지수적 수렴을 보장하며, 이는 시스템의 스펙트럼 성질에 따라 달라진다.
• 네트워크의 스 tochastic 행렬 $ S(\sigma(t)) $ 가 이중 스 tochastic 이고 그래프가 강하게 연결되어 있다면, 충분히 큰 $ g $ 가 존재할 경우 임의의 전이 신호에서도 지수적 수렴이 보장된다.
• 오차 동역학의 전이 행렬 $ \Phi_V(t,\tau) $ 는 $ \|\Phi_V(t,\tau)\| \leq c e^{-\lambda(t-\tau)} $ 를 만족하며, 이는 추정 오차의 지수적 감쇠를 보장한다.
• 관측기 설계는 전이에 대해 강건하다: 네트워크가 강하게 연결되어 있다면, 전이 패턴과 무관하게 수렴 속도 $ \lambda $ 는 사전에 설정할 수 있다.
• 리아푸노프 분석과 섭동 시스템의 성질을 통해 적절한 이득 $ g $ 가 존재함을 입증하였으며, 특히 큰 $ g $ 에 대해 $ (\lambda I + A_V(\sigma(t))) + (\lambda I + A_V(\sigma(t)))^\top \prec 0 $ 이 성립함을 보였다.