[논문 리뷰] A Double Bicategory of Cobordisms With Corners

Jeffrey C. Morton|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 쌍대 코스판을 이용한 쌍층 코스판의 이중 코스판을 사용하여 코너가 있는 코버디즘의 Verity 이중 범주를 구성한다. 이는 쌍층 코스판이 쌍대합을 갖는 범주에서 유도되며, 병합이 일관된 동형사상에 대해 결합법칙과 항등원 법칙을 만족하는 약한 이중 범주적 구조를 제공한다. 주요 기여는 확장된 위상적 장 이론을 동형사상 클래스의 코스판으로 모델링하는 체계적인 구성으로, 이는 약한 입방형 고차 범주에 대한 기초적인 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Interest in weak cubical n-categories arises in various contexts, in particular in topological field theories. In this paper, we describe a concept of bicategory, namely a strict model of the theory of bicategories in Bicat. We show that in a special case one can reduce this to what we call a Verity bicategory, after Domenic Verity. This is a weakened version of a category, in the sense that composition in both horizontal and vertical directions satisfy associativity and unit laws only up to (coherent) isomorphisms. We prove that there are examples in the form of bicategories of double cospans (or double spans) in any category with pushouts (pullbacks, respectively), and give a construction from this which involves taking isomorphism classes of objects, and gives a Verity bicategory of cospans. We describe cobordisms with corners as an example of this construction.

연구 동기 및 목표

• Bicat의 2범주 내에서 이중 범주에 대한 엄밀한 모델을 개발함으로써 약한 고차 구조의 일관성에 중점을 두다.
• 복합이 일관된 동형사상에 대해만 결합법칙과 항등원 법칙을 만족하는 약화된 범주적 프레임워크로 Verity 이중 범주를 도입하다.
• 쌍대합을 갖는 범주에서 이중 코스판이 동형사상 클래스의 객체를 통해 자연스럽게 Verity 이중 범주를 유도함을 보여주다.
• 이 구성 방법을 코너가 있는 코버디즘에 적용하여, 그것이 정의된 구조 하에서 Verity 이중 범주로 표현됨을 보여주다.
• 확장된 위상적 장 이론에 대한 범주적 기초를 약한 입방형 n-범주를 사용하여 제공하다.

제안 방법

• Bicat 내에서 이중 범주의 엄밀한 모델을 정의하여, 제어된 일관성을 갖는 이중 범주의 이론을 체계화하다.
• 복합이 일관된 동형사상에 대해 정의되는 약화된 범주적 구조로서 Verity 이중 범주를 도입하다.
• 쌍대합을 갖는 범주에서 이중 코스판을 구성하며, 스파인과 코스판을 사용하여 코너가 있는 코버디즘을 모델링하다.
• 이중 코스판 구성에서 객체의 동형사상 클래스를 취하여 병합과 일관성의 잘 정의됨을 보장하다.
• 정의된 구조 하에서 이 구성 방법을 코너가 있는 코버디즘에 적용하여, 그것이 Verity 이중 범주를 이룬다는 것을 보여주다.
• 결합법칙과 항등원 법칙이 일관된 동형사상에 대해 만족됨을 검증하여 Verity의 약화된 이중 범주 공리에 부합함을 확인하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쌍대합을 갖는 범주에서 이중 코스판을 통해 Verity 이중 범주를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 코너가 있는 코버디즘의 병합이 동형사상에 대해 일관되게 만족하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 코너가 있는 코버디즘의 범주는 이중 코스판의 동형사상 클래스를 통해 자연스럽게 Verity 이중 범주로 모델링될 수 있는가?
• RQ4 쌍대합을 갖는 범주에서 이중 코스판 구성이 어떻게 약한 이중 범주적 구조를 유도하는가?
• RQ5 동형사상 클래스는 코너가 있는 코버디즘의 이중 범주적 구조의 안정성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 쌍대합을 갖는 범주에서 이중 코스판을 구성할 때 객체의 동형사상 클래스를 취하면 Verity 이중 범주가 유도된다.
• 코너가 있는 코버디즘은 이중 코스판 구성에 의해 Verity 이중 범주로 나타남이 입증되었다.
• 이중 범주에서의 결합법칙과 항등원 법칙은 일관된 동형사상에 대해 만족되며, Verity의 약화된 이중 범주 조건을 충족한다.
• 동형사상 클래스의 사용은 잘 정의된 병합과 이중 범주적 구조의 안정성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 확장된 위상적 장 이론에 관련된 약한 입방형 n-범주에 대한 시스템적인 모델을 제공한다.