[논문 리뷰] A dual characterization of self-generation and exponential forward performances

Gordan Žitković|arXiv (Cornell University)|2008. 09. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 불완전한 세미마링게일 금융 시장에서의 전방 성과 과정에 대한 이중 특성화를 수립하며, 원시 효용 분야에서의 자가 생성성과 국소 마틴게일 측도 분야에서의 자가 생성성 간의 동치성을 증명한다. 지수 전방 성과에 대한 필요 및 충분 조건을 제공하고, 이토 과정에 의해 구동되는 시장에서 이러한 과정에 대한 명시적 매개변수화를 도출하여, 종료 시점이 없는 상황에서의 효용 극대화 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We propose a mathematical framework for the study of a family of random fields--called forward performances--which arise as numerical representation of certain rational preference relations in mathematical finance. Their spatial structure corresponds to that of utility functions, while the temporal one reflects a Nisio-type semigroup property, referred to as self-generation. In the setting of semimartingale financial markets, we provide a dual formulation of self-generation in addition to the original one, and show equivalence between the two, thus giving a dual characterization of forward performances. Then we focus on random fields with an exponential structure and provide necessary and sufficient conditions for self-generation in that case. Finally, we illustrate our methods in financial markets driven by Itô-processes, where we obtain an explicit parametrization of all exponential forward performances.

연구 동기 및 목표

• . 불완전한 세미마르팅게일 시장에서 전방 성과 과정에 대한 엄밀한 수학적 프레임워크를 수립한다.
• . 자가 생성의 이중 표현을 제공하여 원시 분야와 이중 분야 간의 동치성을 보여준다.
• . 자가 생성성의 필요 및 충분 조건을 도출하여 지수 전방 성과의 특성을 규명한다.
• . 이토 과정에 의해 구동되는 시장에서 이론을 적용하여 모든 지수 전방 성과의 명시적 매개변수화를 도출한다.
• . 전방 성과 분야의 구성과 특성화를 어렵게 만드는 종료 시점의 부재를 극복한다.

제안 방법

• . 시간에 따라 인덱싱된 랜덤 필드로서 전방 성과 과정을 도입하며, 자가 생성성을 만족하는 니시오 유형의 준군 성질을 갖는다.
• . 유틸리티 필드를 국소 마틴게일 측도의 가족으로 매핑하는 볼록 해석학적 쌍대성에 의해 이중 랜덤 필드를 정의한다.
• . 유틸리티 함수와 이중 가치 함수 간의 쌍대성에 기반하여, 원시 필드에서의 자가 생성성이 이중 필드에서의 자가 생성성과 동치임을 증명한다.
• . 변분 분석를 통해 지수 유틸리티 구조에 적용하여 자가 생성성에 대한 명시적 조건을 도출한다.
• . 볼록 쌍대성과 페를레-모레우 정리를 활용하여 원시 및 이중 가치 함수 간의 쌍대 관계를 쌍대 쌍을 통해 연결한다.
• . 세미마르팅게일 위상과 M´emin의 정리를 활용하여, 이토 과정 설정에서 제약 조건이 붙은 스토케스틱 적분의 닫힘성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 자가 생성성이 전방 성과 과정에서 이중 프레임워크에서 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 . 지수 구조를 가진 전방 성과 과정이 자가 생성이 되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 . 종료 시점의 부재는 전방 성과 분야의 구성과 특성화에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 . 원시 문제와 달리, 이중 표현은 항상 최소화 가능성을 보장하는가? 그리고 최적화자 존재성에 대한 함의는 무엇인가?
• RQ5 . 이토 과정에 의해 구동되는 시장에서 지수 전방 성과에 대한 명시적 매개변수화는 무엇인가?

주요 결과

• . 원시 전방 성과 필드에서의 자가 생성성은 국소 마틴게일 측도의 이중 필드에서의 자가 생성성과 동치이다.
• . 이중 표현은 항상 최소화자를 갖는다. 이는 원시 문제에서 최대화자의 존재를 가정할 필요가 없음을 의미한다.
• . 지수 전방 성과의 경우, 자가 생성성은 국소 마틴게일 측도의 라돈-니코디움 미분의 구조를 포함하는 특정한 지수 구조 조건을 이중 필드가 만족할 때에만 성립한다.
• . 이토 과정에 의해 구동되는 시장에서는 모든 지수 전방 성과가 시장의 위험 프리미엄과 시간에 따라 변하는 매개변수를 포함하는 명시적 매개변수화를 갖는다.
• . 제약 조건이 붙은 스토케스틱 적분의 집합은 세미마르팅게일 위상에서 닫혀 있으며, 이는 포트폴리오 전략의 수렴에 대한 안정성을 보장한다.
• . 원시 및 이중 가치 함수 간의 쌍대성은 거의 확실히 점별로 성립하며, 적절한 적분 가능성 조건 하에 쌍대 쌍 표현에서 등호가 성립한다.