[논문 리뷰] A Dynamic Default Contagion Model: From Eisenberg-Noe to the Mean Field

Zachary Feinstein, Andreas Søjmark|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 18.

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한 줄 요약

이 논문은 아이ゼン버그–노에 은행 간 네트워크 프레임워크와 평균장 이론을 통합하는 동적 디폴트 전염 모델을 제안하며, 적절한 조건 하에서 유한한 네트워크 시스템이 잘 정의된 평균장 근사로 수렴함을 보여준다. 주요 기여는 네트워크 구조를 유지하면서 공통 노이즈를 통해 내재된 디폴트 전파를 포착하는 조건부 McKean–Vlasov 유형 문제를 제안함으로써 두 주요 시스템 리스크 모델링 프레임워크를 연결한다.

ABSTRACT

In this work we introduce a model of default contagion that combines the approaches of Eisenberg-Noe interbank networks and dynamic mean field interactions. The proposed contagion mechanism provides an endogenous rule for early defaults in a network of financial institutions. The main result is to demonstrate a mean field interaction that can be found as the limit of the finite bank system generated from a finite Eisenberg-Noe style network. In this way, we connect two previously disparate frameworks for systemic risk, and in turn we provide a bridge for exploiting recent advances in mean field analysis when modelling systemic risk. The mean field limit is shown to be well-posed and is identified as a certain conditional McKean-Vlasov type problem that respects the original network topology under suitable assumptions.

연구 동기 및 목표

• 아이제인버그–노에 은행 간 네트워크 프레임워크와 평균장 모델이라는 두 가지 상이한 시스템 리스크 모델링 프레임워크를 통합하기 위해.
• 균형표 불안정성에 의해 유도되는 확률적 자산 가치에 기반한 동적이고 확률적인 디폴트 전염 메커니즘을 개발하기 위해.
• 유한한 네트워크 시스템이 원래 네트워크 구조를 존중하는 평균장 근사로 수렴하도록 보장하기 위해.
• 공통 노이즈 하에서 평균장 근사가 잘 정의되어 있으며, 조건부 McKean–Vlasov 문제로 특징지어짐을 보여주기 위해.
• 최근의 평균장 분석 기여를 시스템 리스크 모델링에 적용하기 위한 수학적 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 반르지 등(2018)의 동적 네트워크 모델을 확장하여 실현된 자본에 기반한 조기 디폴트를 포함하며, 순자산이 음수가 될 경우 디폴트가 발생함을 가정한다.
• 은행 간 채무와 확률적 자산 가치를 개별 노이즈와 공통 노이즈 성분을 포함한 일반화된 기하 브라운 운동으로 모델링한다.
• 기관 수를 무한히 늘림으로써 평균장 근사를 도입하며, 개별 노이즈는 평균화되지만 디폴트 전염에 의한 피드백 효과는 유지된다.
• 손실 과정이 공통 노이즈를 조건으로 한 조건부 확률 분포에 의존하는 조건부 McKean–Vlasov 유형의 확률적 미분 방정식으로 평균장 근사를 유도한다.
• 손실 과정의 수렴을 보일 때 M1 위상에서의 유계성과 연속성 논증을 사용한다.
• 경로별 유일성과 양다–와타나베 논증을 활용하여 한계 법이 공통 노이즈에 대해 가측임을 보장함으로써 조건부 McKean–Vlasov 공식화의 타당성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아이제인버그–노에 네트워크의 자산대비표 구조와 평균장 모델의 渐近 분석을 결합한 동적 디폴트 전염 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 기관 수가 증가함에 따라 은행 간 채무의 유한한 네트워크 시스템이 잘 정의된 평균장 근사로 수렴하는가?
• RQ3 특히 디폴트 전파와 피드백 효과 측면에서 평균장 근사에서 네트워크 구조는 어떻게 유지되는가?
• RQ4 평균장 근사의 수학적 특징은 무엇이며, 어떤 조건에서 잘 정의되어 있는가?
• RQ5 한계 시스템은 공통 노이즈를 존중하고 내재된 디폴트 시기의 특성을 포착하는 조건부 McKean–Vlasov 문제로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 네트워크 모델에서 동적 디폴트가 기관 수가 무한해질 때, 네트워크 구조와 노이즈 성분에 대한 적절한 가정 하에 평균장 근사로 수렴함을 보였다.
• 평균장 근사는 잘 정의되어 있으며, 공통 노이즈 $B_0$와 은행 특성의 경험적 분포에 의존하는 조건부 McKean–Vlasov 문제로 특징지어진다.
• 한계 손실 과정 $\mathcal{L}_l(t)$ 는 공통 노이즈와 자신의 특성 조건 하에서 시간 $t$까지 디폴트가 발생할 조건부 확률에 대한 기댓값으로 표현된다.
• 개별 은행의 개별 노이즈는 한계에서 평균화되지만, 디폴트 전염에 의한 피드백 효과는 여전히 공통 노이즈에 의존하여 유지되며, 이는 체계적 피드백 메커니즘을 보존한다.
• 만일 $\mathbf{P}$ 가 사전에 $B_0$-가측이 아니면 약한 해 개념을 도입하지만, 경로별 유일성이 보장되면 충분한 정규성 조건이 있을 경우 한계 법이 실제로 $B_0$-가측임을 보장한다.
• 손실 과정 $\mathcal{L}^n_l$ 이 $\mathcal{L}_l$ 으로 수렴함이 카다그 함수 공간에서 M1 위상에서 확인되었으며, 이는 한계의 안정성을 확인한다.