[논문 리뷰] A Dynamic Programming Approach to Finite-horizon Coherent Quantum LQG Control

Igor G. Vladimirov, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 09.

Quantum Information and Cryptography인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한한 시간 간격의 일관된 양자 LQG 제어 문제를 미분 리아푸노프 방정식으로 제어되는 공분산 구동 시스템에 대한 결정론적 최적 제어 문제로 재구성함으로써 동적 프rogramming 방법을 개발한다. 주요 기여는 심플렉틱 불변성과 본트랴긴의 최소 원리에 기반한 최적 제어기 이득 행렬에 대한 대수 방정식 유도를 통해 고전적 LQG 분리 원리의 양자 버전인 준분리 성질을 확립하는 것이다.

ABSTRACT

The paper is concerned with the coherent quantum Linear Quadratic Gaussian (CQLQG) control problem for time-varying quantum plants governed by linear quantum stochastic differential equations over a bounded time interval. A controller is sought among quantum linear systems satisfying physical realizability (PR) conditions. The latter describe the dynamic equivalence of the system to an open quantum harmonic oscillator and relate its state-space matrices to the free Hamiltonian, coupling and scattering operators of the oscillator. Using the Hamiltonian parameterization of PR controllers, the CQLQG problem is recast into an optimal control problem for a deterministic system governed by a differential Lyapunov equation. The state of this subsidiary system is the symmetric part of the quantum covariance matrix of the plant-controller state vector. The resulting covariance control problem is treated using dynamic programming and Pontryagin's minimum principle. The associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation for the minimum cost function involves Frechet differentiation with respect to matrix-valued variables. The gain matrices of the CQLQG optimal controller are shown to satisfy a quasi-separation property as a weaker quantum counterpart of the filtering/control decomposition of classical LQG controllers.

연구 동기 및 목표

• 선형 QSDE로 기술되는 시간에 따라 변화하는 양자 식물에 대한 유한시간 간격 일관된 양자 LQG(CQLQG) 제어 문제를 다루기 위해.
• 양자 제어기의 물리적 실현 가능성(PR) 제약 조건을 존중하는 해법 프레임워크를 개발하기 위해.
• 양자 LQG 제어에서 발생하는 PR 조건에 의해 유도되는 결합성을 해소하기 위해 해밀토니안 매개변수화와 심플렉틱 불변성을 활용하기 위해.
• 최적 제어기의 구조에서 준분리 성질을 통해 고전적 LQG 분리 원리의 양자 버전을 확립하기 위해.
• 최적 제어기 이득을 지배하는 두 개의 비선형적으로 결합된 리아푸노프 ODE를 다루는 분할 경계값 문제를 제시하기 위해.

제안 방법

• CQLQG 문제는 식물-제어기 상태 벡터의 대칭 부분인 공분산 행렬을 상태로 가지는 보조 시스템에 대한 결정론적 최적 제어 문제로 재구성된다.
• 자유 해밀토니안, 결합 및 산산이 흩어지는 연산자에 대응하는 해밀토니안 행렬을 통한 제어기 매개변수화로 물리적 실현 가능성을 보장한다.
• 동적 프로그래밍과 본트랴긴의 최소 원리를 적용하여 매트릭스 값 변수에 대한 프레셰 미분을 포함하는 하미르톤-자코비-벨리만 방정식을 유도한다.
• 보조 시스템의 쌍대 상태는 닫힌 루프 시스템의 관측 가능성 그람ian으로 식별되며, 이는 최적 제어와 시스템 그람ian 간의 연결 고리를 제공한다.
• 최소 비용 함수의 심플렉틱 불변성을 확립하여 하미르톤 최소화를 두 개의 독립적인 2차 최적화 문제로 감소시킨다.
• 최적 이득 행렬은 닫힌 루프 시스템의 그람ian과 핸켈리안을 사용하여 닫힌 형식으로 도출되며, 이는 비선형적으로 결합된 리아푸노프 방정식에 대한 분할 경계값 문제를 이끈다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한시간 간격 일관된 양자 LQG 제어 문제는 물리적 실현 가능성 제약 조건 하에서 어떻게 결정론적 최적 제어 문제로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 심플렉틱 불변성은 최적 양자 제어기의 구조를 단순화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 고전적 LQG 분리 원리의 양자 버전을 확립할 수 있으며, 만약 가능하면 어떤 형태로 이루어지는가?
• RQ4 최적 제어기 이득 행렬은 닫힌 루프 시스템의 관측 가능성 및 제어 가능성 그람ian에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 최적 제어기를 지배하는 리아푸노프 방정식에 대한 두점 경계값 문제의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 최적 제어기 이득 행렬은 닫힌 루프 시스템의 관측 가능성 및 제어 가능성 그람ian을 사용하여 특수한 자기수반 연산자의 역행렬을 통해 닫힌 형식으로 유도된다.
• 최소 비용 함수는 심플렉틱 불변성을 가지며, 이는 하미르톤 최소화를 두 개의 독립적인 2차 최적화 문제로 분리할 수 있도록 한다.
• 최적 제어기 이득은 준분리 성질을 만족하며, 이는 고전적 LQG 필터링/제어 분해의 더 약한 양자적 대응이다.
• 시스템 동역학은 모든 $ t < T $ 에서 $ H_t^{22} $ 행렬의 반대칭 해밀토니안 구조를 유지한다. 이는 자유 매개변수 $ R_t $ 의 선택과 무관하게 성립한다.
• 결과적으로 유도된 제어기 설계는 최적 제어기 이득을 지배하는 두 개의 비선형적으로 결합된 미분 리아푸노프 방정식에 대한 분할 경계값 문제를 이끈다. 여기서 $ R_t $ 는 경계 조건을 만족하는 자유 매개변수로 작용한다.
• 최적 $ R_t $ 에 대한 방정식의 부재는 해 구조가 $ R_t $ 의 최적성보다는 경계 조건에 의해 제약을 받음을 시사하며, 이는 $ R_t $ 의 결정을 여전히 열린 문제로 남긴다.