[논문 리뷰] A Dynamically Adaptive Sparse Grid Method for Quasi-Optimal Interpolation of Multidimensional Analytic Functions

Miroslav Stoyanov, Clayton Webster|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 05.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분석 함수의 다차원 해석 함수에 대해 사전에 해석 영역 또는 리프시츠 상수에 대한 지식이 필요 없이 준최적의 보간을 위한 동적 적응형 희소 격자 방법을 제안한다. 반복적으로 해석 영역과 연산자 노름을 추정함으로써, 노드 수를 최소화하면서도 높은 정확도를 유지하는 다항식 공간의 탐욕적 선택을 통해 보간자를 구성하며, 전통적인 희소 격자 방법에 비해 매개변수적 PDE에서 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

In this work we develop a dynamically adaptive sparse grids (SG) method for quasi-optimal interpolation of multidimensional analytic functions defined over a product of one dimensional bounded domains. The goal of such approach is to construct an interpolant in space that corresponds to the "best $M$-terms" based on sharp a priori estimate of polynomial coefficients. In the past, SG methods have been successful in achieving this, with a traditional construction that relies on the solution to a Knapsack problem: only the most profitable hierarchical surpluses are added to the SG. However, this approach requires additional sharp estimates related to the size of the analytic region and the norm of the interpolation operator, i.e., the Lebesgue constant. Instead, we present an iterative SG procedure that adaptively refines an estimate of the region and accounts for the effects of the Lebesgue constant. Our approach does not require any a priori knowledge of the analyticity or operator norm, is easily generalized to both affine and non-affine analytic functions, and can be applied to sparse grids build from one dimensional rules with arbitrary growth of the number of nodes. In several numerical examples, we utilize our dynamically adaptive SG to interpolate quantities of interest related to the solutions of parametrized elliptic and hyperbolic PDEs, and compare the performance of our quasi-optimal interpolant to several alternative SG schemes.

연구 동기 및 목표

• 해석 영역나 또는 리프시츠 상수에 대한 사전 추정에 의존하지 않고 준최적 수렴을 달성하는 희소 격자 보간 방법을 개발하는 것.
• 오차 추정에 기반한 다항식 공간의 적응적 정밀화를 통해 고차원 함수 근사에서의 차원의 극복 문제를 해결하는 것.
• 노드 수를 최소화하면서도 정확도를 유지하는 일련의 중첩된 1차원 규칙을 사용하여 보간자를 구성하는 것.
• 아핀 및 비아핀 해석 함수와 임의의 1차원 보간 규칙의 성장률에 대해 이 방법을 일반화하는 것.
• 비용이 많이 드는 투영 방법 대신 샘플링 기반 보간을 사용함으로써 레거시 시뮬레이션 소프트웨어에 실용적으로 구현할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 이전 보간자로부터 해석 영역과 리프시츠 상수 성장률을 반복적으로 추정하여 사전에 알려진 경계에 의존하지 않는다.
• 두 개의 벡터를 사용하여 최적의 다항식 공간에 대한 히우리스틱 추정을 수립한다: 하나는 해석 영역을, 다른 하나는 리프시츠 상수 성장률을 위한 것이다.
• 계산 비용이 큰 0-1 배낭 문제를 피하기 위해 주어진 다항식 공간을 덮기 위한 텐서 곱 규칙의 최소 집합을 선택한다.
• 클렌샤우-커티스와 레자와 같은 중첩된 1차원 규칙을 사용하며, 연산자 노름을 탐욕적으로 최소화함으로써 새로운 규칙을 도입한다.
• 모든 이전 샘플을 재사용함으로써 효율성을 확보하는 점진적으로 정밀해지는 격자 시퀀스를 사용하여 보간자를 구성한다.
• 이 방법은 매개변수적 타원형 및 쌍곡형 PDE 모두에 적용되며, 비선형 문제에서의 수치 결과는 뛰어난 성능을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석 함수의 해석 영역나 또는 보간 연산자에 대한 리프시츠 상수에 대한 사전 추정이 필요 없이, 희소 격자 보간 방법이 준최적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 해당 사전 추정이 없는 상황에서 최적의 다항식 공간을 어떻게 적응적으로 추정할 수 있는가?
• RQ3 이 방법은 비선형 및 이방성 문제를 포함한 다양한 유형의 매개변수적 PDE에서 얼마나 높은 수렴 속도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 리프시츠 상수 성장률이 다른 임의의 1차원 보간 규칙에 대해 일반화될 수 있는가?
• RQ5 동적 적응형 방법의 수렴 속도와 노드 효율성 측면에서 전통적인 희소 격자 방법과의 성능 비교는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 동적 적응형 방법은 해석 영역나 또는 리프시츠 상수에 대한 사전 지식이 없이도 다차원 해석 함수 보간에서 준최적 수렴 속도를 달성한다.
• 이 방법은 매개변수적 타원형 및 쌍곡형 PDE, 비선형 문제인 정 steady-state Burgers 방정식을 포함하여 기존의 희소 격자 방법을 능가한다.
• Burgers 방정식 테스트 케이스에서, Clenshaw-Curtis 노드를 사용하여 이방성 감쇠 행동을 정확하게 보간하였으며, α̂ ≈ 1.22, 1.53, 0.25 및 β̂ ≈ -1.57, -1.71, 0.25의 추정 매개변수를 사용하였다.
• 레자 및 클렌샤우-커티스 노드의 사용이 유사한 수렴 행동을 보였으며, 다양한 1차원 규칙 가족 간의 강건성을 확인하였다.
• 이 방법은 해의 이방성 감쇠 패턴을 성공적으로 식별하였으며, 대류 및 확산 항에서 y₁, y₂, y₃의 기여도가 뚜렷하게 나타났다.
• 해석 영역과 리프시츠 상수 매개변수의 반복적 추정을 통해 근사 최적의 다항식 공간을 효과적으로 구성하였으며, 필요한 노드 수를 줄이면서도 높은 정확도를 유지하였다.