[논문 리뷰] A family of conforming mixed finite elements for linear elasticity on triangular grids

Jun Hu, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 29.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 34인용 수 48

한 줄 요약

이 논문은 삼각형 격자 위에서 선형 탄성에 대한 새로운 혼합 유한요소 가족을 제안하며, $C^0$-$P_k$ 응력 근사에 $(k-1)$개의 $H(\operatorname{div})$ 모서리 버블 함수를 추가하고, $k \geq 3$에 대해 불연속적인 $P_{k-1}$ 변위 공간을 사용한다. 핵심 기여는 포르틴 연산자를 피하는 새로운 이산 인프-서프 조건 안정성 증명으로, 이는 이전의 아르놀트-윈터 요소보다 훨씬 단순한 기저 구성과 함께 최적의 $P_k$ 응력 및 $P_{k-1}$ 변위 수렴을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper presents a family of mixed finite elements on triangular grids for solving the classical Hellinger-Reissner mixed problem of the elasticity equations. In these elements, the matrix-valued stress field is approximated by the full $C^0$-$P_k$ space enriched by $(k-1)$ $H(\d)$ edge bubble functions on each internal edge, while the displacement field by the full discontinuous $P_{k-1}$ vector-valued space, for the polynomial degree $k\ge 3$. The main challenge is to find the correct stress finite element space matching the full $C^{-1}$-$P_{k-1}$ displacement space. The discrete stability analysis for the inf-sup condition does not rely on the usual Fortin operator, which is difficult to construct. It is done by characterizing the divergence of local stress space which covers the $P_{k-1}$ space of displacement orthogonal to the local rigid-motion. The well-posedness condition and the optimal a priori error estimate are proved for this family of finite elements. Numerical tests are presented to confirm the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법에 비해 더 단순한 응력 기저 구성 방식을 사용하는 삼각형 메esh에서 선형 탄성에 대한 안정적이고 일치하는 혼합 유한요소 방법을 개발하는 것.
• 삼각형 요소에 대해 포르틴 연산자를 사용하지 않고도 이산 인프-서프 안정성을 증명하는 데 도전하는 것.
• 최소한의 응력 공간을 사용하여 응력($P_k$)과 변위($P_{k-1}$) 근사에 대해 최적 수렴률을 달성하는 것.
• 원래 아르놀트-윈터 요소에 존재하나 근사력이 없는 $P_{k+1}$-버블 함수를 제거하여 자유도와 복잡성을 줄이는 것.

제안 방법

• 내부 모서리 각각에 $(k-1)$개의 $H(\operatorname{div})$ 모서리 버블 함수를 추가한 전체 $C^0$-$P_k$ 공간을 사용하여 응력장을 근사한다.
• $k \geq 3$에 대해 불연속적인 벡터값 $P_{k-1}$ 공간을 사용하여 변위장을 근사한다.
• 지역 응력 공간의 발산을 국소 강체 운동에 수직인 $P_{k-1}$ 공간을 커버하도록 특성화하여 포르틴 연산자가 필요 없이 안정성을 증명한다.
• macro-element 기법과 국소 발산 성질에 기반한 구축 증명을 활용하여 이산 인프-서프 조건을 확립한다.
• 응력 공간이 고려된 대칭 $H(\operatorname{div})$-$P_k$ 텐서의 부분공간임을 보여주어 아르놀트-윈터 요소에서 사용된 고차수 $P_{k+1}$ 버블 함수가 필요 없도록 한다.
• 표준 라그랑주 $P_k$ 유한요소의 기저에서 직접 유도함으로써 응력 공간의 기저 구성 방식을 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포르틴 연산자를 사용하지 않고도 삼각형 격자에서 선형 탄성에 대한 안정적인 혼합 유한요소 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 아르놀트-윈터 요소보다 더 단순한 응력 공간을 사용하여 응력에 대해 최적의 $P_k$ 수렴과 변위에 대해 $P_{k-1}$ 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ3 근사력이 없는 고차수 버블 함수를 피함으로써 응력 공간의 기저를 더 쉽게 구성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 기존 혼합 요소에 비해 자유도를 줄이며 최적 수렴률을 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 응력에 대해 최적의 $P_k$ 수렴과 변위에 대해 $P_{k-1}$ 수렴을 달성하며, 수치 실험에서 $k=3,4,5$에 대해 각각 3, 4, 5차 수렴을 관찰하였다.
• $k=3$일 때 $P_3$ 요소는 모든 노름에서 세차 수렴을 보이며, 이는 이론적 최적 수렴률을 확인한다.
• $P_4$ 요소는 모든 노름에서 사차 수렴을 보이며, 이론적 예측과 일치하고 아르놀트-윈터 $P_3$ 요소보다 수렴 속도가 빠르다.
• $P_5$ 요소는 응력에 대해 $H(\operatorname{div})$ 노름에서 오차 수렴이 오차 수렴이 5차이고, $L^2$ 노름에서 6차로 나타나 이론적 기대를 확인한다.
• 새로운 $P_3$ 요소는 버블 함수를 압축한 후에도 아르놀트-윈터 $P_3$ 요소와 거의 동일한 자유도를 유지하면서도 한 단계 높은 수렴 차수를 달성한다.
• 수치 결과는 새로운 방법이 아르놀트-윈터 요소보다 계산적으로 더 단순하고 효율적임을 확인하며, 근사력이 없는 $P_{k+1}$-버블 함수가 필요 없기 때문이다.