[논문 리뷰] A Family of ESDIRK Integration Methods

John Bagterp Jørgensen, Morten Kristensen외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 05.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 27인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 낮은에서 중간 정도의 정확도를 요구하는 강건한 상미분방정식과 대수-미분방정식에 대해 1(2), 2(3), 3(4) 차의 명시적 단일 대각 은닉 룬게-쿠타(ESDIRK) 방법의 가족을 제시한다. 이 방법들은 A-안정성과 L-안정성을 갖추고 있으며, 적응적 단계 크기 조절을 위한 내장된 오차 추정기능을 포함하고 있으며, 이산 사건을 수반하는 하이브리드 시스템에의 응용을 가능하게 하는 연속적 확장 기능을 갖추고 있다.

ABSTRACT

In this paper we derive and analyze the properties of explicit singly diagonal implicit Runge-Kutta (ESDIRK) integration methods. We discuss the principles for construction of Runge-Kutta methods with embedded methods of different order for error estimation and continuous extensions for discrete event location. These principles are used to derive a family of ESDIRK integration methods with error estimators and continuous-extensions. The orders of the advancing method (and error estimator) are 1(2), 2(3) and 3(4), respectively. These methods are suitable for obtaining low to medium accuracy solutions of systems of ordinary differential equations as well as index-1 differential algebraic equations. The continuous extensions facilitates solution of hybrid systems with discrete-events. Other ESDIRK methods due to Kværnø are equipped with continuous-extensions as well to make them applicable to hybrid systems with discrete events.

연구 동기 및 목표

• 강건한 상미분방정식(ODE) 및 인덱스-1 대수-미분방정식(DAE)에 적합한 ESDIRK 적분 방법의 가족을 개발하는 것.
• 강건한 문제의 신뢰성 있는 통합을 위해 A- 및 L-안정성과 강건한 정확도 특성을 갖춘 방법을 확보하는 것.
• 주 방법보다 차수 하나 높은 내장 방법을 도입하여 신뢰할 수 있는 국소 오차 추정을 가능하게 하는 것.
• 이산 사건을 포함하는 하이브리드 시스템의 정확한 해를 위해 연속적 확장을 제공하는 것.
• 희망적인 안정성 및 정확도 특성을 갖춘 ESDIRK 방법의 체계적 구축 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 부처의 대수적 순서 조건을 사용하여 ESDIRK 방법을 유도함으로써 A- 및 L-안정성과 강건한 정확도 단계를 확보한다.
• 주 방법이 차수 $p$이고 내장 방법이 차수 $p+1$인 내장 쌍을 사용하여 국소 오차 추정이 가능하도록 방법을 구성한다.
• 주 방법의 차수와 일치하는 연속적 확장을 도출하여 하이브리드 시스템에서 사건 탐지에 위한 조밀한 출력을 가능하게 한다.
• 각 방법의 첫 번째 단계를 이전 단계의 마지막 단계와 동일하게 설정함으로써 FSAL 성질을 확보하여 효율성을 높이고, 효과적인 단계 수를 $s-1$로 감소시킨다.
• 부처 표기법을 사용하여 순서 조건을 충족시키며, 안정성과 정확도를 최적화한 계수를 포함하여 $eta$-안정성 및 강건 정확도 조건을 포함한다.
• 안정성 분석과 순서 조건 비교를 통해 방법을 검증하였으며, 연속적 확장은 기반 방법과 동일한 순서를 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 A- 및 L-안정성을 확보하면서도 강건 정확도를 유지하는 조건에서 ESDIRK 방법을 체계적으로 구축하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 강건한 ODE 및 DAE에 대해 ESDIRK 방법의 차수, 안정성 및 계산 비용 사이의 최적 균형은 무엇인가?
• RQ3 기반 방법의 차수를 유지하면서 연속적 확장을 설계하여 이산 사건 탐지에 기여할 수 있는가?
• RQ4 내장 방법이 A- 또는 L-안정성이 아닐 경우, 차수 $p+1$의 내장 방법을 사용한 오차 추정의 영향은 무엇인가?
• RQ5 불연속성이 있는 강건 시스템에 대해 기존의 DIRK 및 BDF 방법과 비교했을 때 ESDIRK 방법의 효율성과 신뢰성은 어떻게 다른가?

주요 결과

• ESDIRK12, ESDIRK23, ESDIRK34 방법은 A- 및 L-안정성, 강건 정확도를 갖추고 있으며, 주 방법보다 차수 하나 높은 $p+1$ 차의 내장 오차 추정기능을 통해 신뢰할 수 있는 적응적 단계 크기 조절이 가능하다.
• 이 방법들의 연속적 확장은 기반 방법과 동일한 차수를 가지며, 하이브리드 시스템에서 이산 사건 탐지에 필요한 정확한 조밀한 출력을 가능하게 한다.
• ESDIRK43a와 ESDIRK32c 방법은 구간 외부의 적분 점($c_i > 1$)을 포함하여 신뢰성이 떨어지므로 일반적 사용에서 제외된다.
• ESDIRK45c 방법은 내장 방법의 차수에 대한 불확실성이 있어 예측 불가능한 단계 크기 조절 행동을 보이므로 기각된다.
• 남은 방법들인 ESDIRK54a, ESDIRK54b, ESDIRK32a, ESDIRK32b, ESDIRK32c는 연속적 확장을 갖추고 있으며, 강건한 ODE 및 인덱스-1 DAE의 낮고 중간 정도의 정확도 해를 위한 적합한 방법이다.