[논문 리뷰] A family of Solutions of the N-Body Problem

Óscar Perdomo|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 07.

Spacecraft Dynamics and Control인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 한 중량 중심이 고정된 선상을 움직이며, 나머지 $n-1$개의 동일 질량 $m_2$를 가진 물체들이 대칭적으로 궤도를 돈다는 조건에서 n체 문제의 명시적이고 주기적인 해를 제시한다. 시스템을 반경 거리에 대한 2차 상미분방정식으로 줄였을 때, 총 에너지가 음수이고 각운동량이 0이 아니면 운동이 유계이고 충돌이 일어나지 않음을 증명하였으며, 적분을 통해 명시적 해를 구성하여 $n=3$에서 $6$까지 유한하지 않은 수의 주기 궤도를 보였다. 이 결과는 대칭 질량 구성이 있는 일반적인 $n$-체 문제로 확장된다.

ABSTRACT

In this paper we characterize all the solutions of the three body problem on which one body with mass $m_1$ remains in a fixed line and the other two bodies have the same mass $m_2$. We show that all the solutions with negative total energy (potential plus kinetic), never collide. "Explicit" solutions of the motion of all the three bodies are given in term of just one solution of an ordinary differential equation of order two of one real value function. We show that the solutions of a big subfamily of this family remains bounded for all time. The same results are shown for the n-body problem. When the body on the line remains constant, we have provide exact formulas for the solutions --for any n-- in the same way as we have for the two body problem. Once we have shown that there are infinitely many periodic solutions, we provide several examples of periodic examples for the 3-Body, 4-Body, 5-Body and 6-Body problem. This is a first version. Comments and suggestions for references are welcome. A YouTube video explaining one of this solutions has been posted on http://youtu.be/2Wpv6vpOxXk

연구 동기 및 목표

• 세 개의 물체 문제에서 한 질량 $m_1$ 이 고정된 선상을 움직이고, 나머지 두 개가 동일 질량 $m_2$ 를 가지는 모든 해를 특성화하는 것.
• 모든 음수 총 에너지와 0이 아닌 각운동량을 가진 해가 충돌 없이 유계임을 증명하는 것.
• 두 번째 상미분방정식의 단일 해를 통해 세 물체의 운동을 명시적으로 구성하는 것.
• 일반적인 $n$-체 문제에서 한 중량 중심과 $n-1$개의 동일 질량 물체를 가진 경우에 결과를 확장하는 것.
• 3체, 4체, 5체, 6체 문제에 대해 고정밀 수치로 명시적인 주기적 해를 제공하는 것.

제안 방법

• 중력 상수를 1로 설정하고 뉴턴 역학을 사용하여 시스템을 모델링하며, 중심 질량 $m_1$ 이 $z$-축을 따라 움직인다: $x(t) = (0,0,f(t))$.
• 질량 중심 보존 조건을 적용: $m_1 x(t) + m_2 y(t) + m_2 z(t) = (0,0,0)$로 인해 대칭 투영 $Y = (y_1,y_2)$, $Z = (-y_1,-y_2)$ 및 $z_3 = y_3 = -\frac{m_1}{2m_2}f(t)$ 가 유도된다.
• 보존량 정의: 각운동량 $c_1 = y_1 \dot{y}_2 - y_2 \dot{y}_1$ 과 총 에너지 $c_2$ 는 운동의 역학을 결정한다.
• 반경 거리 $r(t)$ 에 대한 2차 상미분방정식으로 시스템을 축소하기 위해 $f(t) = g(r(t))$ 를 설정하고, $a(r,g,g')g'' + b(r,g)g' + c(g,r) = 0$ 을 유도한다.
• 에너지 및 각운동량 제약 조건을 사용하여 변수 분리법으로 $r(t)$ 를 구하고, $r^2 \dot{\theta} = c_1$ 에서 $\theta(t)$ 를 복원함으로써 $x(t), y(t), z(t)$ 의 전체 재구성 가능하게 한다.
• 초기 조건이 $\xi(q_0) < 10^{-11}$ 를 만족함을 통해 주기성을 검증하여 고정밀 수치로 주기 궤도와의 일치를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 개의 물체 문제에서 한 중량 중심과 두 개의 동일 질량 궤도 물체를 가질 때, 어떤 조건에서 항상 충돌 없이 유계로 유지되는가?
• RQ2 세 물체의 전체 운동에 대한 명시적 분석 해를 두 번째 상미분방정식의 단일 해로부터 유도할 수 있는가?
• RQ3 대칭 $n$-체 문제에서 유계이고 주기적인 해를 보장하기 위해 에너지 $c_2$ 와 각운동량 $c_1$ 에 어떤 제약 조건이 필요한가?
• RQ4 한 중량 중심과 $n-1$개의 동일 질량 물체를 가진 $n$-체 문제를 해를 구할 수 있는 상미분방정식 시스템으로 어떻게 축소할 수 있는가?
• RQ5 해가 주기적임을 보장하는 수치 기준은 무엇이며, 이러한 해는 어떻게 고정밀도로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 총 에너지가 음수($c_2 < 0$) 이고 각운동량이 0이 아니면($c_1 \neq 0$), 모든 해는 충돌이 없으며, $c_1, c_2, m_1, m_2$ 에 따라 달라지는 명시적 상수 $a_1, b_1$ 에 대해 $0 < a_1 < r(t) < b_1$ 를 만족한다.
• 해의 부분군이 $8m_1m_2^2 + m_2^3 + 16c_2c_1^2 > 0$ 를 만족할 경우에만 유계가 되며, 이는 장기적 안정성을 보장한다.
• 매개변수 공간에서 유계 해 집합의 열린 성질과 초기 조건에 대한 연속적 의존성으로 인해 무한히 많은 주기적 해가 존재한다.
• 적분을 통해 $x(t), y(t), z(t)$ 의 명시적 해를 구성한다: $g(r)$ 가 상미분방정식을 만족하면 $r(t)$ 는 적분으로 구하고, $r^2 \dot{\theta} = c_1$ 에서 $\theta(t)$ 를 복원함으로써 궤도 전체를 재구성할 수 있다.
• $n=3$에서 $6$까지 12개의 명시적 주기적 해를 $\xi(q_0) < 10^{-11}$ 로 구성하였으며, 이는 초기 조건이 주기 궤도와 5~7자리 유효숫자까지 일치함을 나타낸다.
• 결과는 한 중량 중심 $m_1$ 과 $n-1$개의 동일 질량 $m_2$ 를 가진 $n$-체 문제로 일반화되며, $g(r)$ 를 지배하는 상미분방정식은 $k = \frac{m_1 + n m_2}{n m_2}$ 를 사용하여 도출된다.