[논문 리뷰] A Fast Algorithm for Solving Scalar Wave Scattering Problem by Billions of Particles

А. Г. Рамм, Nhan Tran|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 15.

Electromagnetic Scattering and Analysis참고 문헌 23인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 (ORI) 선형 시스템, 공액 수직 공액 그래디언트(COCG) 방법, 그리고 빠른 푸리에 변환(FFT)의 새로운 조합을 통해 최대 100억 개의 작은 임피던스 입자를 포함한 스칼라 파동 산란 문제를 빠르고 확장 가능한 방법으로 해결하는 알고리즘을 제시한다. 이 방법은 10^10개의 입자를 포함한 파동 산란 문제에 대한 첫 번째 수치적 해를 가능하게 하여, 입자 분포와 임피던스 제어를 통해 원하는 굴절 계수, 특히 음수 굴절을 갖는 재료 설계의 가능성을 입증한다.

ABSTRACT

Scalar wave scattering by many small particles of arbitrary shapes with impedance boundary condition is studied. The problem is solved asymptotically and numerically under the assumptions a << d << lambda, where k = 2pi/lambda is the wave number, lambda is the wave length, a is the characteristic size of the particles, and d is the smallest distance between neighboring particles. A fast algorithm for solving this wave scattering problem by billions of particles is presented. The algorithm comprises the derivation of the (ORI) linear system and makes use of Conjugate Orthogonal Conjugate Gradient method and Fast Fourier Transform. Numerical solutions of the scalar wave scattering problem with 1, 4, 7, and 10 billions of small impedance particles are achieved for the first time. In these numerical examples, the problem of creating a material with negative refraction coefficient is also described and a recipe for creating materials with a desired refraction coefficient is tested.

연구 동기 및 목표

• 수십억 개의 작은 임피던스 입자를 포함한 스칼라 파동 산란 문제를 효율적으로 해결하기 위한 계산적으로 효율적인 방법을 개발하기 위해.
• 기존 방법으로는 대규모 파동 산란 문제를 해결하는 데 계산적으로 불가능한 문제를 극복하기 위해.
• 특정 경계 임피던스를 갖는 작은 입자를 배치하여 효과적인 굴절 계수를 원하는 대로 제어함으로써 원하는 효과 굴절 계수(음수 포함)를 갖는 재료의 수치적 설계를 가능하게 하기 위해.
• 고성능 병렬 컴퓨팅을 활용하여 10^10개의 입자를 포함한 파동 산란 문제에 대한 첫 번째 수치적 해를 제시하기 위해.

제안 방법

• 이 알고리즘은 $a \ll d \ll \lambda$ 조건 하에 임의의 형상을 가진 많은 작은 임피던스 입자에 의한 타원형 파동 산란 이론의 점근적 이론에 기반한다. 여기서 $a$는 입자 크기, $d$는 입자 간 거리, $\lambda$는 파장이다.
• 산란 문제를 (ORI) 수식을 사용하여 선형 시스템으로 공식화하여 입자 간 효과적 필드 상호작용을 포괄한다.
• 이 선형 시스템은 큰 희박한 선형 시스템을 효율적으로 처리할 수 있는 공액 수직 공액 그래디언트(COCG) 반복 방법을 사용하여 해결한다.
• COCG 반복 과정에서 행렬-벡터 곱 연산을 가속하기 위해 빠른 푸리에 변환(FFT)을 활용한다. 이로 인해 계산 복잡도가 감소한다.
• 이 방법은 XSEDE 경유로 구현된 고성능 병렬 컴퓨팅 환경인 Gordon 슈퍼컴퓨터에서 병렬 처리로 실행되어 최대 10^10개의 입자를 포함한 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 10억, 70억, 40억, 10억 개의 입자를 포함한 수치 예제를 통해 알고리즘의 수렴성과 확장성을 검증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 100억 개의 작은 임피던스 입자를 포함한 파동 산란 문제를 확장 가능하고 빠른 알고리즘으로 수치적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 특정 경계 임피던스를 갖는 작은 입자를 배치함으로써 복합 재료의 효과 굴절 계수를 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ3 수십억 개의 입자를 포함한 산란 문제에서 발생하는 선형 시스템을 효율적으로 다루기 위해 필요한 계산 기법은 무엇인가?
• RQ4 제안된 알고리즘이 백만 개를 넘는 극한의 입자 수에 대해 어느 정도로 확장 가능한가?
• RQ5 이 알고리즘을 사용하여 음수 효과 굴절 계수를 갖는 재료를 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 10^10개의 작은 임피던스 입자를 포함한 스칼라 파동 산란 문제에 대한 첫 번째 수치적 해가 달성되어 계산 파동 물리학 분야에서 중요한 전환점이 되었다.
• Gordon 슈퍼컴퓨터에서 병렬 컴퓨팅을 활용하여 10억, 70억, 40억, 10억 개의 입자를 포함한 문제를 성공적으로 해결하였다.
• 작은 임피던스 입자에 의한 효과적 산란 필드는 $O(a^{2-\kappa})$로 스케일링되며, $\kappa \in [0,1)$ 이다. 이는 레일리 산란의 $O(a^3)$보다 훨씬 크며, 더 강한 상호작용 효과를 가능하게 한다.
• 입자들의 경계 임피던스 $\zeta = h a^{-\kappa}$ 를 조절함으로써 원하는 효과 굴절 계수, 음수 포함,를 갖는 재료 설계가 가능하다.
• FFT와 COCG의 사용으로 계산 비용이 크게 감소하여 수십억 개 입자를 포함한 시뮬레이션을 실현 가능하게 하였으며, 직접 방법 대비 총 연산 횟수가 극적으로 감소하였다.
• 수치 결과는 입자 분포와 임피던스를 제어함으로써 임의의 굴절 계수를 갖는 재료를 설계할 수 있다는 이론적 예측을 확인하였다.