[논문 리뷰] A fast method for pricing American options under the variance gamma model

Weilong Fu, Ali Hirsa|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 변동성 게이지(VG) 모델 하에서 미국식 볼리옵션을 빠르고 정확하게 가격 결정하기 위한 방법을 제안한다. 이 방법은 이차 근사와 커널 회귀를 조합하여 근사 오차를 보정한다. 보정 항은 사전에 기계학습을 통해 계산되며, 분석적 근사와 유사한 속도를 유지하면서도 높은 정확도를 확보한다. 이는 유한차분법(FDM)과 몬테카를로 방법보다도 빠른 속도와 낮은 오차를 동시에 확보한다.

ABSTRACT

We investigate methods for pricing American options under the variance gamma model. The variance gamma process is a pure jump process which is constructed by replacing the calendar time by the gamma time in a Brownian motion with drift, which makes it a time-changed Brownian motion. In general, the finite difference method and the simulation method can be used for pricing under this model, but their speed is not satisfactory. So there is a need for fast but accurate approximation methods. In the case of Black-Merton-Scholes model, there are fast approximation methods, but they cannot be utilized for the variance gamma model. We develop a new fast method inspired by the quadratic approximation method, while reducing the error by making use of a machine learning technique on pre-calculated quantities. We compare the performance of our proposed method with those of the existing methods and show that this method is efficient and accurate for practical use.

연구 동기 및 목표

• 순수 점프 Lévy 과정인 변동성 게이지(VG) 모델 하에서의 미국식 볼리옵션에 대해 신속하고 정확한 근사 방법의 부족을 해결한다.
• 기존 방법의 한계를 극복한다 — 예를 들어, 느린 유한차분법(FDM)과 느리고 노이즈가 많은 몽테카를로 시뮬레이션의 문제점을 해결한다.
• 이차 근사의 빠른 속도를 활용하면서도 데이터 기반 보정을 통해 오차를 줄이는 하이브리드 접근법을 개발한다.
• CGMY 및 NIG와 같은 다른 순수 점프 모델으로의 확장이 가능한 실용적이고 확장 가능한 방법을 만든다.
• 실시간 리스크 관리 및 마켓 메이킹에 적합한 계산 속도와 정확도의 균형을 확보한다.

제안 방법

• 유한차분법와 유사한 시간 스텝이 필요 없는 PIDE 기반 간소화 근사를 사용하여 주니-중(Ju-Zhong) 이차 근사 프레임워크를 VG 모델에 적응시킨다.
• 초기 이차 간소화로 인한 오차를 줄이기 위해 근사된 옵션 가격에 보정 항을 도입한다.
• 모델 파라미터(r, q, T, σ, ν, θ)의 함수로 보정 항을 비모수적 커널 회귀를 통해 추정한다. 이는 사전에 계산된 옵션 가격 데이터로 훈련된다.
• 6차원 입력(N+1개의 출력 변수, N=6은 주가 그리드)인 파라미터 그리드의 카르테시안 곱에 기반해 커널 회귀를 훈련한다.
• 반복적 교차검증(5회 반복)을 통해 커널 대역폭을 최적화하고, 결과를 평균하여 안정성을 확보한다.
• 최종 가격 결정 루틴은 사전 훈련된 보정 모델 기반의 룩업 및 회귀 기반 함수로 구현되어, 보정 모델이 사전 훈련된 후에는 빠른 평가가 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차분법 또는 몽테카를로 방법보다 훨씬 빠르면서도 높은 정확도를 유지하는 미국식 볼리옵션의 VG 모델 하에서의 신속한 근사 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 이차 근사와 기계학습 기반 보정의 조합이 순수 점프 모델에서의 가격 결정 오차를 얼마나 효과적으로 줄이는가?
• RQ3 만기 기간이 길어질수록, 특히 T > 0.5일 경우 제안된 방법의 성능이 얼마나 떨어지는가?
• RQ4 이 방법을 CGMY 및 NIG와 같은 다른 순수 점프 Lévy 모델로 최소한의 수정으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 제한된 수의 학습 포인트로 보정 항을 사전 계산할 수 있는가? 이 경우에도 결과 모델은 실시간 사용에 대해 정확하고 효율적인가?

주요 결과

• 제안된 방법은 속도와 정확도 사이에 유리한 균형을 이룩하여, FDM(coarse) 및 몽테카를로 방법보다 오차와 계산 시간 측면에서 모두 뛰어나다.
• FDfine(고정밀도 기준)보다도 훨씬 빠르며, 몽테카를로 시뮬레이션보다도 더 신속하다. 분석적 근사와 유사한 속도를 확보한다.
• 유한차분법가 가속화된 FDcoarse일지라도, T ≤ 0.5 범위에서는 여전히 제안된 방법보다 약간 더 높은 오차를 보인다.
• T = 1.0일 경우, 장기 만기 동안 진짜 미국식 옵션 프리미엄 표면을 지수 형태로 근사하는 데 어려움이 있어 성능이 약간 떨어진다.
• 커널 회귀 기반 보정은 초깃값 이차 근사의 오차를 대부분의 경우 입찰-매도 스프레드 이내로 줄여 실용적으로 유용한 성능을 확보한다.
• 이 방법은 강건하고 확장 가능하며, 사전 계산 단계를 제외하면 유일하게 비용이 드는 단계이므로 실시간 가격 결정이 가능하다.