[논문 리뷰] A fast solver for spectral element approximation applied to fractional differential equations using hierarchical matrix approximation

Xianjuan Li, Zhiping Mao외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 08.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 계층 행렬(H-matrix) 근사 기법을 사용하여 이방향 분수형 확산 방정식의 스펙트럼 유한요소 해법에 대한 빠른 반복 해법을 제시한다. 밀도 높은 강성 행렬을 H-행렬 압축을 통해 근사하고 계층적 LU 분해를 적용함으로써 해법 비용을 O(R²Nd log²N + R³Nd log N + Nd²)로 감소시켰으며, 조건수를 비예측적 시스템 대비 11개 이상의 지수 정도 감소시켰다. 이는 스펙트럼 유한요소법의 고차 정확도를 유지하면서도 효율적인 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We develop a fast solver for the spectral element method (SEM) applied to the two-sided fractional diffusion equation on uniform, geometric and graded meshes. By approximating the singular kernel with a degenerate kernel, we construct a hierarchical matrix (H-matrix) to represent the stiffness matrix of the SEM and provide error estimates verified numerically. We can solve efficiently the H-matrix approximation problem using a hierarchical LU decomposition method, which reduces the computational cost to $O(R^2 N_d \log^2N) +O(R^3 N_d \log N)$, where $R$ it is the rank of submatrices of the H-matrix approximation, $N_d$ is the total number of degrees of freedom and $N$ is the number of elements. However, we lose the high accuracy of the SEM. Thus, we solve the corresponding preconditioned system by using the H-matrix approximation problem as a preconditioner, recovering the high order accuracy of the SEM. The condition number of the preconditioned system is independent of the polynomial degree $P$ and grows with the number of elements, but at modest values of the rank $R$ is below order 10 in our experiments, which represents a reduction of more than 11 orders of magnitude from the unpreconditioned system; this reduction is higher in the two-sided fractional derivative compared to one-sided fractional derivative. The corresponding cost is $O(R^2 N_d \log^2 N)+O(R^3 N_d \log N)+O(N_d^2)$. Moreover, by using a structured mesh (uniform or geometric mesh), we can further reduce the computational cost to $O(R^2 N_d\log^2 N) +O(R^3 N_d \log N)+ O(P^2 N\log N)$ for the preconditioned system. We present several numerical tests to illustrate the proposed algorithm using $h$ and $p$ refinements.

연구 동기 및 목표

• 이방향 분수형 확산 방정식의 스펙트럼 유한요소 이산화에서 발생하는 밀도 높은 선형 시스템의 높은 계산 비용과 악조건 문제를 해결하기 위해.
• 스펙트럼 유한요소법의 고차 정확도를 유지하면서도 결과로 생기는 밀도 높은 시스템을 효율적으로 해법하기 위해.
• 균일, 기하학적, 등간격 메쉬에 대해 계층 행렬 근사 및 조건부 조건화를 활용한 빠르고 확장 가능한 해법을 개발하기 위해.
• 다항식 차수 P에 관계없이 최적의 복잡도 O(R²Nd log²N + R³Nd log N + Nd²)를 달성하고, 조건수를 다항식 차수에 영향을 받지 않도록 하기 위해.

제안 방법

• 분수적 적분 연산자 내의 특이 커널을 탈퇴된 커널(degenerate kernel)로 근사함으로써, 강성 행렬에 대한 계층 행렬(H-matrix) 표현을 가능하게 한다.
• 계층적 LU 분해를 통해 H-행렬을 구성함으로써, 비대각 블록의 저질서 구조를 이용해 저장 용량과 계산 비용을 감소시킨다.
• H-행렬 근사를 원래 스펙트럼 유한요소 시스템의 조건부 조건화자로 사용하여, 조건수를 감소시키면서도 고차 정확도를 복원한다.
• 구조화된 메쉬(균일 또는 기하학적)를 활용하여 조건부 조건화 시스템의 비용을 O(P²N log N)로 추가로 감소시킨다.
• 토플리츠 유사 구조와 스케일된 적분을 포함하는 블록 행렬 분해를 활용하여 H-행렬 블록을 효율적으로 계산한다.
• 자코비 다항분수다항식을 기저 함수로 사용하는 페트로프-갈레르킨 프레임워크를 적용하여, 등간격 메쉬에서의 고차 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계층 행렬 근사는 이방향 분수형 PDE의 스펙트럼 유한요소 이산화에서 발생하는 밀도 높은 강성 행렬에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 이러한 맥락에서 H-행렬 조건화를 사용할 경우 도달 가능한 계산 복잡도와 조건수 감소 정도는 어떠한가?
• RQ3 이 방법은 어떻게 스펙트럼 유한요소법의 고차 정확도를 유지하면서도 빠른 해법 시간을 달성하는가?
• RQ4 구조화된 메쉬는 H-행렬 조건화 시스템에서 계산 비용을 얼마나 더 감소시킬 수 있는가?
• RQ5 조건수는 다항식 차수 P와 요소 수 N에 대해 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• H-행렬 근사는 해법 비용을 O(R²Nd log²N + R³Nd log N + Nd²)로 감소시키며, 주요 항은 조건부 조건화 시스템의 해법이다.
• 조건부 조건화 시스템의 조건수는 다항식 차수 P에 영향을 받지 않으며, 요소 수에 따라 느리게 증가하며, 수치 실험에서 적당한 질서 R에서 10의 정도 이하로 유지된다.
• 조건화로 인해 비예측적 시스템 대비 조건수가 11개 이상의 지수 정도 감소하였으며, 한 방향 분수 도함수보다 이방향 분수 도함수에서 더 큰 감소 효과를 보였다.
• 구조화된 메쉬(균일 또는 기하학적)의 경우, 조건부 조건화 시스템의 해법 비용이 추가로 O(P²N log N)로 감소하여 효율적인 p-재분할(p-refinement)이 가능해졌다.
• 수치 실험을 통해 방법의 높은 정확도를 확인하였으며, H-행렬 조건화자를 사용할 경우 스펙트럼 유한요소법의 수렴률이 유지됨을 입증하였다.
• 끝점 특이성이 있는 문제에 대해서도 높은 정확도를 유지하였으며, 매끄러운 우변 함수에 대해 선형 FEM 및 PGS 방법보다 L∞-오차에서 뛰어난 성능을 보였다.