[논문 리뷰] A faster algorithm for the discrete Fréchet distance under translation

Avraham, Rinat Ben, Kaplan, Haim외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 15.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 14인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 평면에서 두 점 순서열 간의 최소 이산 프리셰트 거리를 이동할 때 더 빠른 알고리즘을 제시한다. 거리 임계값에 대한 0/1 행렬 표현에서의 도달 가능성 상태를 유지하기 위해 동적 데이터 구조를 사용하여, 이동 공간에 대한 매개변수 검색 중에 효율적인 갱신과 질의를 가능하게 하며, m ≤ n일 때 시간 복잡도를 O(m³n²(1 + log(n/m)) log(m + n))으로 향상시킨다.

ABSTRACT

The (discrete) Fréchet distance (DFD) is a popular similarity measure for curves. Often the input curves are not aligned, so one of them must undergo some transformation for the distance computation to be meaningful. Ben Avraham et al. [Rinat Ben Avraham et al., 2015] presented an O(m^3n^2(1+log(n/m))log(m+n))-time algorithm for DFD between two sequences of points of sizes m and n in the plane under translation. In this paper we consider two variants of DFD, both under translation. For DFD with shortcuts in the plane, we present an O(m^2n^2 log^2(m+n))-time algorithm, by presenting a dynamic data structure for reachability queries in the underlying directed graph. In 1D, we show how to avoid the use of parametric search and remove a logarithmic factor from the running time of (the 1D versions of) these algorithms and of an algorithm for the weak discrete Fréchet distance; the resulting running times are thus O(m^2n(1+log(n/m))), for the discrete Fréchet distance, and O(mn log(m+n)), for its two variants. Our 1D algorithms follow a general scheme introduced by Martello et al. [Martello et al., 1984] for the Balanced Optimization Problem (BOP), which is especially useful when an efficient dynamic version of the feasibility decider is available. We present an alternative scheme for BOP, whose advantage is that it yields efficient algorithms quite easily, without having to devise a specially tailored dynamic version of the feasibility decider. We demonstrate our scheme on the most uniform path problem (significantly improving the known bound), and observe that the weak DFD under translation in 1D is a special case of it.

연구 동기 및 목표

• 두 점 순서열 P와 Q 사이의 최소 이산 프리셰트 거리를 R²에서 Q가 P에 대해 이동할 때 계산하는 것.
• Jiang 등이 제시한 동일 문제에 대해 이전의 O(m³n³ log(m + n)) 시간 복잡도 알고리즘을 향상시키는 것.
• 이동에 의해 유도되는 동적 변화에 대해 0/1 행렬에서의 도달 가능성 상태를 빠르게 갱신하고 질의할 수 있는 효율적인 동적 데이터 구조를 개발하는 것.
• 결정 절차를 최적화하고 전체 실행 시간을 줄이기 위해 매개변수 검색 기법을 적용하는 것.

제안 방법

• 고정된 거리 임계값 δ에 대해 0/1 행렬 M(P, Q)가 일정한 O(m²n²)개의 영역으로 이루어진 이동 평면의 분할 Aδ를 구성한다.
• M의 단일 요소 변경에 대해 O(m(1 + log(n/m))) 시간 내에 갱신이 가능한 동적 데이터 구조 Γ(M)를 사용하며, (1,1)에서 (m,n)까지의 도달 가능성 질의는 O(1) 시간에 수행된다.
• 임계값 δ의 값에 대한 매개변수 검색을 적용하고, M 내에서 1로 이루어진 단조로운 경로의 존재 여부를 확인하는 결정 절차를 사용한다.
• O(mn)개의 프로세서와 O(log(m + n))단계를 사용하여 원형 곡선을 따라 교차점의 정렬을 병렬적으로 시뮬레이션하여 임계 원주율과의 비교를 해결한다.
• Cole의 최적화 기법을 적용하여 이분 탐색 단계를 O(log²(m + n))에서 O(log(m + n))단계로 줄이며, 미해결 임계값의 가중 중앙값을 사용해 각 병렬 단계당 결정 절차 호출 수를 줄인다.
• 동적 도달 가능성 구조와 매개변수 검색을 결합하여 이동에 따른 최소 이산 프리셰트 거리를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Jiang 등의 O(m³n³ log(m + n)) 한계를 넘어서 이동에 따른 이산 프리셰트 거리를 더 빠르게 계산할 수 있는가?
• RQ2 이동에 의해 유도되는 변화에 대해 0/1 행렬에서 도달 가능성 상태를 유지하기 위해 이차 이하의 갱신 비용을 가진 데이터 구조로 가능할 수 있는가?
• RQ3 동적 결정 절차를 사용하여 매개변수 검색을 번역 문제에 효율적으로 적용할 수 있는가?
• RQ4 기하학적 제약 조건(예: c-packed 곡선)이 번역 배열 Aδ의 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 국소적 이웃성 특성 기반의 더粗略한 배열로 검색 범위를 제한함으로써 전체 실행 시간을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 R²에서 이동에 따른 최소 이산 프리셰트 거리를 계산하는 데 O(m³n²(1 + log(n/m)) log(m + n))의 시간 복잡도를 달성하여 이전의 O(m³n³ log(m + n)) 한계를 향상시켰다.
• 동적 데이터 구조 Γ(M)는 m ≤ n를 가정할 때 요소 갱신에 O(m(1 + log(n/m))) 시간, 도달 가능성 질의에 O(1) 시간을 소요한다.
• Cole의 매개변수 검색 최적화 기법을 사용함으로써 결정 절차 호출 수를 O(log²(m + n))에서 O(log(m + n))단계로 줄여 전체 효율성을 향상시켰다.
• 균일한 샘플링을 가진 c-packed 곡선의 경우, 알고리즘은 O((cδ∗ₜ/Δ)² m³(1 + log(n/m)) log(m + n)) 시간으로 추가 최적화될 수 있으며, 여기서 δ∗ₜ는 최적의 이동 거리이다.
• δ∗ₜ ≤ ∆일 경우 실행 시간은 O(c²m³(1 + log(n/m)) log(m + n))로 줄어들며, 낮은 왜곡 영역에서 성능 향상을 보인다.
• 알고리즘은 결정 절차를 O(m²n²)개의 프로세서와 O(log(m + n))단계를 사용해 병렬적으로 효율적으로 시뮬레이션할 수 있음을 보여주며, 확장 가능한 매개변수 검색을 가능하게 한다.