[논문 리뷰] A Faster Local Algorithm for Detecting Bounded-Size Cuts with Applications to Higher-Connectivity Problems

Sebastian Forster, Yang Liu|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 17.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 방향 그래프에서 유한 크기의 컷을 탐지하기 위한 더 빠른 랜덤화 국소 알고리즘을 제안하며, $O(k^2ackslashackslashDelta)$ 쿼리 복잡도를 달성하여 이전의 복잡도 기준을 크게 향상시켰다. 이는 정점 연결성, 최대 $k$-간선 연결 부분그래프, 그리고 높은 연결성의 성질 테스팅을 위한 더 빠른 알고리즘을 가능하게 한다. 주요 기여는 다항로그 값에 대해 거의 선형 시간으로 정점 연결성을 계산할 수 있도록 하는 간결한, 선형 이하 시간의 절차이다.

ABSTRACT

Consider the following "local" cut-detection problem in a directed graph: We are given a starting vertex $s$ and need to detect whether there is a cut with at most $k$ edges crossing the cut such that the side of the cut containing $s$ has at most $Δ$ interior edges. If we are given query access to the input graph, then this problem can in principle be solved in sublinear time without reading the whole graph and with query complexity depending on $k$ and $Δ$. We design an elegant randomized procedure that solves a slack variant of this problem with $O(k^2 Δ)$ queries, improving in particular a previous bound of $O((2(k+1))^{k+2} Δ)$ by Chechik et al. [SODA 2017]. In this slack variant, the procedure must successfully detect a component containing $s$ with at most $k$ outgoing edges and $Δ$ interior edges if such a component exists, but the component it actually detects may have up to $O(k Δ)$ interior edges. Besides being of interest on its own, such cut-detection procedures have been used in many algorithmic applications for higher-connectivity problems. Our new cut-detection procedure therefore almost readily implies (1) a faster vertex connectivity algorithm which in particular has nearly linear running time for polylogarithmic value of the vertex connectivity, (2) a faster algorithm for computing the maximal $k$-edge connected subgraphs, and (3) faster property testing algorithms for higher edge and vertex connectivity, which resolves two open problems, one by Goldreich and Ron [STOC '97] and one by Orenstein and Ron [TCS 2011].

연구 동기 및 목표

• 유출 간선과 내부 간선 수가 유한한 방향 그래프에서 작은 컷을 탐지하기 위한 더 빠른 국소 알고리즘을 설계하기.
• 특히 높은 연결성 문제에 적용되는 경우를 고려해, 이전의 국소 컷 탐지 절차의 쿼리 복잡도를 향상시키기.
• 골드라이히와 론(2002) 및 오렌스타인과 론(2011)이 제기한 $k$-간선 및 $k$-정점 연결성에 대한 성질 테스팅의 열린 문제를 해결하기.
• 단일이고 효율적인 국소 컷 탐지 서브루틴을 사용해 기존의 높은 연결성 문제 접근법을 통합하고 단순화하기.

제안 방법

• 시작 정점 $s$를 포함하는 컴포넌트를 탐지하는 랜덤화 국소 절차를 설계하며, 이 컴포넌트는 최대 $k$개의 유출 간선과 $O(k\backslashackslashDelta)$ 이내의 내부 간선을 가질 수 있다. 단, $\Delta$ 기준을 略로 초과하더라도 허용한다.
• 내부 간선 수에 대한 유연한 기준을 도입하여 컷 탐지 문제의 유연한 변형을 사용함으로써, 더 빠른 쿼리 복잡도를 달성한다.
• 높은 연결성 알고리즘, 특히 정점 연결성과 최대 $k$-간선 연결 부분그래프 계산에 국소 컷 탐지 절차를 서브루틴으로 적용한다.
• 정점 연결성과 컴포넌트의 조합적 성질을 활용하여, 성질 테스팅에서 쿼리 요구량을 줄인다.
• 이국적 성질 테스팅 알고리즘에 국소 절차를 통합하여 $k$-간선 및 $k$-정점 연결성의 쿼리 복잡도를 향상시킨다.
• 도메인에 따라 쿼리 분석을 조정함으로써, 유계 및 무계수 그래프에 대해 균일한 복잡도 기준을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 $O((2(k+1))^{k+2}\Delta)$ 기준보다 훨씬 낮은 쿼리 복잡도를 가지는 국소 컷 탐지 절차를 설계할 수 있는가?
• RQ2 그러한 절차가 정점 연결성 $\kappa$를 계산하는 데 더 빠른 알고리즘을 가능하게 하는가? 특히 $\kappa$가 $n$에 대해 다항로그일 경우에 대해.
• RQ3 그 절차가 $k$-간선 및 $k$-정점 연결성 성질 테스팅의 열린 문제를 해결하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 $O(k\Delta)$ 쿼리 복잡도와 $O(k^2\Delta)$ 실행 시간을 동시에 확보하면서 $k$ 요소의 오버헤드를 피할 수 있는 방법이 있는가?
• RQ5 랜덤화 국소 컷 탐지 절차를 결정론적으로 변환하면서도 $\Delta$에 대해 선형 의존성을 유지하고, $k$에 대해 지수적 의존성을 피할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 국소 컷 탐지 절차는 이전의 $O((2(k+1))^{k+2}\Delta)$ 기준보다 향상된 $O(k^2\Delta)$ 쿼리 복잡도를 달성한다.
• 이 알고리즘은 $\kappa$가 $n$에 대해 다항로그일 경우, 정점 연결성 $\kappa$를 처음으로 거의 선형 시간에 계산할 수 있도록 한다.
• 체치크 등이 이전에 제안한 것보다 더 빠른 알고리즘으로 최대 $k$-간선 연결 부분그래프를 계산할 수 있다.
• 두 가지 열린 문제를 해결한다: 골드라이히와 론(2002)이 제기한 $k$-간선 연결성 성질 테스팅 문제와 오렌스타인과 론(2011)이 제기한 $k$-정점 연결성 성질 테스팅 문제.
• 성질 테스팅의 경우, 유계가 아닌 그래프에서는 $O\left(\frac{k^5}{(\epsilon\overline{d})^2} \log\left(\frac{k}{\epsilon\overline{d}}\right)\right)$의 쿼리 수를 수행하고, 유계 그래프에서는 $O\left(\frac{k^3}{\epsilon} \left(\log\left(\frac{k}{\epsilon d}\right)\right)^2\right)$의 쿼리 수를 수행한다.
• 이 접근법은 방향 및 무방향 그래프, 그리고 유계 및 무계수 설정을 모두 균일하게 다루며, 통합적인 처리를 가능하게 한다.