[논문 리뷰] A Few More Quadratic APN Functions

Carl Bracken, Eimear Byrne외 2명|ArXiv.org|2008. 04. 30.

Coding theory and cryptography참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $k$ 가 3으로 나누어떨어지지 않는 $ olimits\mathbb{F}_{2^{3k}}$에서 두 개의 새로운 무한한 차수의 거의 완전 비선형(APN) 함수의 가닥을 제시한다. 기존에 알려진 가닥들을 일반화한다. 델타 2-랭크와 최소 무게 워드 조합론과 같은 계산 기반의 불변량을 사용하여, Magma 기반의 코드 등가성 테스트를 통해 이러한 함수들이 모든 알려진 APN 함수들과 CCZ-등가성이 아니라는 것을 증명하였으며, 이는 $n=12$ 이상에서의 새로운 발견을 확립한다.

ABSTRACT

We present two infinite families of APN functions where the degree of the field is divisible by 3 but not 9. Our families contain two already known families as special cases. We also discuss the inequivalence proof (by computation) which shows that these functions are new.

연구 동기 및 목표

• $k$ 가 3으로 나누어떨어지지 않는 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$에서 새로운 이차 APN 함수의 가닥을 구성하는 것.
• 이 함수들이 단항식 및 이전에 구성된 가닥들을 포함한 모든 알려진 APN 함수들과 CCZ 등가성이 아님을 보여주는 것.
• 단항식 및 이항식 가닥의 알려진 목록을 초월하여 APN 함수의 분류를 확장하는 것.
• 이론적 방법이 실패할 경우 CCZ 등가성이 아닌지를 확인하기 위한 계산 기반 프레임워크를 제공하는 것.
• 새로운 가닥이 기존의 가닥들(예: 가닥 1, 5, 6)을 특수 케이스로 포함하지만, CCZ 등가성 하에서는 여전히 구별됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 사차항 형태 제안: $F(x) = u^{2^k}x^{2^{-k}+2^{k+s}} + ux^{2^s+1} + vx^{2^{-k}+1} + wu^{2^k+1}x^{2^{k+s}+2^s}$, $k$, $s$, $u$, $v$, $w$에 대한 제약 조건을 포함.
• 미분 균일성 조건 적용: 모든 $p,q \in \mathbb{F}_{2^n}$, $q \neq 0$에 대해 $f(x+q)+f(x) = p$는 최대 2개의 해를 가짐을 통해 APN 성질을 검증.
• 등가성 기준 적용: 두 함수가 CCZ 등가이면, 입력-출력 벡터에서 구성된 부호의 정규화 행렬을 기반으로 한 이진 부호가 $\mathbb{F}_2$에서 등가임을 보장.
• Magma를 사용하여 델타 2-랭크 및 최소 무게 코드 워드의 조합 구조와 같은 불변량을 계산하고 비교하여 CCZ 등가성이 아님을 탐지.
• 백트래킹 검색과 최소 무게 워드에 대한 자동군 작용을 활용하여 $n=12$ ($k=4$)에서의 등가성 테스트 수행.
• $u$가 원시적이고 $k$ 가 3으로 나누어떨어지지 않는 사실을 활용하여, 특정 대수적 표현이 제곱근이 될 수 없음을 보여주고, $\Delta(x)=0$의 해가 $\mathbb{F}_{2^k}$ 내에 있음을 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $k$ 가 3으로 나누어떨어지지 않는 $ olimits\mathbb{F}_{2^{3k}}$에서 새로운 무한한 차수의 이차 APN 함수의 가닥이 존재하는가?
• RQ2 이러한 새로운 가닥들이 이전에 알려진 모든 APN 함수들과 CCZ 등가성이 아님을 입증할 수 있는가?
• RQ3 새로운 가닥이 이항식, 삼항식, 사항식 APN 함수와 같은 기존 가닥들을 일반화하는가?
• RQ4 코드 등가성 테스트가 비현실적이거나 불가능한 경우, 델타 2-랭크 및 최소 무게 워드의 구조와 같은 계산 기반 불변량이 CCZ 등가성이 아님을 식별할 수 있는가?
• RQ5 제시된 조건 하에서 함수 $F(x) = u^{2^k}x^{2^{-k}+2^{k+s}} + ux^{2^s+1} + vx^{2^{-k}+1} + wu^{2^k+1}x^{2^{k+s}+2^s}$는 진정으로 APN인가?

주요 결과

• 논문은 $k$ 가 3으로 나누어떨어지지 않는 $ olimits\mathbb{F}_{2^{3k}}$에서 두 개의 새로운 무한한 차수의 이차 APN 함수의 가닥을 구성하였으며, $k$, $s$, $u$, $v$, $w$에 대한 명시적 제약 조건을 포함한다.
• 사차항 가닥(가닥 7)은 이항식(가닥 1), 삼항식(가닥 5), 다른 삼항식(가닥 6)을 특수 케이스로 포함한다.
• $n=12$에서 네 가닥(특수 케이스 포함)이 Magma 기반 계산을 통해 상호 간에 CCZ 등가성이 아님을 입증하였다.
• $n=12$에서 네 함수에 관련된 부호의 델타 2-랭크를 계산한 결과, 첫 세 개는 7900, 네 번째는 7816으로 나타나 등가성이 아님을 증명하였다.
• 부호의 최소 무게 워드의 구조를 추가로 불변량으로 사용하여 함수들을 구별하였으며, 델타 2-랭크를 초월한 CCZ 등가성 불등가를 확인하였다.
• 저자들은 새로운 함수들이 단항식, 이항식, 삼항식 유형의 모든 알려진 APN 함수들과 CCZ 등가성이 아니므로, 새로운 발견임을 결론지었다.