[논문 리뷰] A finite difference approximation of a two dimensional time fractional advection-dispersion problem

Carlos E. Mejía, Alejandro Piedrahita|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 19.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비정상성 계수를 가진 2차원 시간 분수 적분형 이동-확산 방정식을 해결하기 위한 암묵적인 유한차분 스킴을 제시한다. 여기서 분수 도함수는 카푸토의 정의를 따르며, 확산 항은 비발산 형식을 띤다. 이 방법은 온건한 가정 하에 일致성, 조건부 불필요한 안정성, 수렴성을 입증하였으며, 수치 실험을 통해 다양한 분수 차수와 확산 계수에서 공간에서의 2차 수렴성과 시간에서의 1차 수렴성을 확인하였다.

ABSTRACT

Time fractional advection-dispersion equations arise as generalizations of classical integer order advection-dispersion equations and are increasingly used to model fluid flow problems through porous media. In this paper we develop an implicit finite difference method to solve a two-dimensional initial boundary value problem for the linear time fractional advection-dispersion equation with variable coefficients on a bounded domain. Consistency, stability and convergence of the method are proved in detail and the numerical experiments offer a good insight into the quality of the obtained approximations.

연구 동기 및 목표

• 지속 가능한 수치적 방법을 개발하여 지하수 내 오염물질 이동을 시간 분수 적분형 이동-확산 방정식을 사용해 모델링한다.
• 비발산 형식의 확산 항과 카푸토 시간 분수 도함수를 다룰 수 있는 암묵적인 유한차분 스킴을 구축한다.
• 계수의 경계에 대한 온건한 가정 하에 제안된 스킴의 일치성, 조건부 불필요한 안정성, 수렴성을 엄밀히 증명한다.
• 일반적이고 계산적으로 효율적인 행렬 기반 프레임워크를 제공하여 구현을 가능하게 한다.
• 정확한 해가 있는 다양한 분수 차수와 확산 계수에 대해 포괄적인 수치 실험을 통해 스킴을 검증한다.

제안 방법

• 카푸토 시간 분수 도함수의 L1 근사법을 사용한 암묵적인 유한차분 스킴을 수립하였으며, 이는 [6]에서 자세히 기술되어 있다.
• 공간적 이동 및 확산 항에 대해 중심 유한차분을 적용하였으며, 변수 계수 a(x,y,t), b(x,y,t), c(x,y,t), d(x,y,t)를 포함한다.
• 균일한 직사각형 격자에서 공간 단계 Δx, Δy와 시간 단계 Δt를 사용하여 스킴을 구성하였으며, 각 시간 단계에서 선형 시스템 해법을 통해 해를 시간에 따라 진행시켰다.
• 결과로 생기는 선형 시스템을 효율적으로 조립하고 해를 구하기 위한 행렬 기반 계산 프레임워크를 개발하여 다양한 문제에의 일반화를 가능하게 하였다.
• 에너지 방법을 사용하여 안정성과 수렴성을 분석하였으며, 증명은 계수 함수의 유계성과 L1 스킴의 성질에 기반한다.
• 세 가지 수치 실험에 적용하였다: 하나는 부드러운 정확한 해가 있는 경우이며, 나머지 두 개는 다양한 확산 계수와 분수 차수를 가진 경우로, 안정성을 시험하기 위해 사용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비발산 형식의 변수 계수를 가진 2차원 시간 분수 적분형 이동-확산 방정식에 대해 조건부 불필요한 안정성과 수렴성을 보장하는 유한차분 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 다양한 분수 차수 α ∈ (0,1)와 변화하는 확산 계수에서 스킴의 수렴 속도는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 제안된 행렬 기반 프레임워크는 다양한 경계 조건과 소스 조건에 대해 효율적이고 일반적인 구현을 가능하게 하는가?
• RQ4 소규모 확산 계수에서의 극한 상황, 즉 열화된 포물형 영역에 가까운 경우 스킴은 어떻게 작동하는가?
• RQ5 정확한 해가 없는 경우 분수 차수 α가 해의 프로파일에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 유한차분 스킴은 계수 함수의 유계성에 대한 온건한 가정 하에 일치성, 조건부 불필요한 안정성, 수렴성을 입증하였다.
• 수치 실험 결과, 테스트된 모든 분수 차수 α = 0.1, 0.5, 0.9에 대해 공간에서의 2차 수렴성과 시간에서의 1차 수렴성이 확인되었다.
• 예제 4.1에서 부드러운 해를 가진 경우, 격자 해상도를 높일수록 공간에서의 수렴 차수는 2.0에 수렴하고 시간에서의 수렴 차수는 1.0에 수렴하여 이론적 기대와 일치함을 확인하였다.
• 예제 4.2에서 매우 작은 확산 계수 ε = 1e-5를 가진 경우에도 스킴은 강건한 수렴 행동을 유지하였으며, 거의 열화된 경우에도 안정성을 보였다.
• 예제 4.3에서는 정확한 해가 존재하지 않지만, 계산된 해는 분수 차수 α에 대해 연속적인 의존성을 보였으며, t = 1일 때 α = 0.3에서 α = 0.9로 변화하면서 해가 매끄럽게 변화함을 확인하였다.
• 행렬 프레임워크는 효율적인 구현을 가능하게 하였으며, 이는 이전의 역원천 문제에서 성공적으로 재사용되어 실용적 유용성을 확인하였다.