[논문 리뷰] A Finite Element Framework for Option Pricing with the Bates Model

Edie Miglio, Carlo Sgarra|ArXiv.org|2008. 12. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 점프와 확산 변동성을 포함한 베이츠 스토하스틱 볼라틸리티 모델 하에서 유럽식 복권을 가격화하기 위한 유한요소법(FEM)을 제시한다. 가격 결정 문제는 포물형 부분-적분미분방정식(PIDE)으로 공식화된다. 이 방법은 높은 정확도와 강건성을 확보하였으며, 수치 결과는 기준이 되는 빠른 푸리에 변환(FFT) 방법과 매우 유사한 결과(0.1% 이내의 편차)를 보이며, 점프-확산 역학 하에서 복잡한 옵션 가격 결정에 효과적임을 검증한다.

ABSTRACT

In the present paper we present a finite element approach for option pricing in the framework of a well-known stochastic volatility model with jumps, the Bates model. In this model the asset log-returns are assumed to follow a jump-diffusion model where the jump component consists of a Levy process of compound Poisson type, while the volatility behavior is described by a stochastic differential equation of CIR type, with a mean-reverting drift term and a diffusion component correlated with that of the log-returns. Like in all the Levy models, the option pricing problem can be formulated in terms of an integro-differential equation: for the Bates model the unknown F(S, V, t) (the option price) of the pricing equation depends on three independent variables and the differential operator part turns out to be of parabolic kind, while the nonlocal integral operator is calculated with respect to the Levy measure of the jumps. In this paper we will present a variational formulation of the problem suitable for a finite element approach. The numerical results obtained for european options will be compared with those obtained with different methods.

연구 동기 및 목표

• 베이츠 모델에서 발생하는 부분-적분미분방정식(PIDE)을 해결하기 위한 안정적이고 정확한 유한요소법을 개발하는 것.
• 레비 점프와 스토하스틱 볼라틸리티로 인해 발생하는 비국소 적분 연산자를 지닌 3차원 PIDE를 수치적으로 해결하는 데 도전하는 것.
• 유한요소 메쉬에 적합한 변분형식을 제공하여 공간적 근사의 유연성과 적응 가능성을 보장하는 것.
• 다양한 매개수 조합에서 유럽식 옵션에 대해 기존의 FFT 기반 방법과 비교하여 제안된 FEM 접근법을 검증하는 것.
• 자유 경계 문제를 통한 아메리칸 옵션 가격 결정으로의 방법 확장 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 저자는 베이츠 모델에서 옵션 가격을 지배하는 PIDE에 대한 변분형식을 유도하여, 갈레르킨 유한요소 방법에 적합한 약한 형태로 문제를 변환한다.
• 공간 영역은 비정렬 삼각형 메쉬를 사용한 다항식 유한요소로 이산화되었으며, 메쉬는 총 2634개의 요소와 1398개의 노드를 포함한다.
• 시간 이산화에는 PIDE의 포물형 성분에 대해 안정성을 보장하기 위해 암시적 스킴을 사용한다.
• 복합 포아송 점프로 인해 발생하는 비국소 적분 연산자는 레비 측도에 대한 구적법을 통해 근사한다.
• 유도된 선형 연립방정식은 반복적으로 해결되며, 다양한 매개수 영역에서 효율성과 강건성을 확보하도록 설계되었다.
• 이 방법은 만기 3년 이내, 행사가격 80에서 120 사이의 유럽형 콜 옵션에 대해 테스트되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점프와 스토하스틱 볼라틸리티를 포함한 베이츠 모델에서 발생하는 PIDE에 대해 효과적으로 제작되고 구현된 유한요소법이 가능한가?
• RQ2 유럽식 옵션 가격 결정에서 FEM의 정확도와 수렴성은 기준이 되는 FFT 방법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 특히 볼라틸리티 확산(θ), 상관관계(ρ), 점프 강도(λ) 등의 주요 모델 매개수는 임의의 볼라틸리티 표면에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 베이츠 모델 하에서 옵션 가격 결정에 대해 FEM 접근법의 계산 효율성은 어떠한가?
• RQ5 자유 경계 문제를 통해 동일한 PIDE를 기반으로 한 아메리칸 옵션 가격 결정으로의 유한요소 프레임워크 확장이 가능한가?

주요 결과

• 유한요소법은 테스트된 매개수 조합 전반에서 FFT 결과와 뛰어난 일치를 보였으며, 최대 상대 편차가 0.1% 미만이었다.
• 이 방법은 특히 단기 만기 및 음의 상관관계(ρ) 조건에서 볼라틸리티 스마일과 스케일 특징을 정확히 포착하였다.
• 매개수 조합 S₂와 S₃에서는 볼라틸리티 표면에 뚜렷한 스케일이 나타났으며, S₁과 S₄에서는 스케일이 덜 두드러져, 이는 확산 계수 θ와 상관관계 ρ에 민감한 것을 시사한다.
• 이 방법은 넓은 매개수 범위에서 강건하며, 네 가지의 다른 캘리브레이션 세트(S₁에서 S₄) 전반에서 일관된 성능을 보였다.
• 계산 비용은 중간 수준이었으며, 프로세서가 2GHz 듌코어, RAM 1MB인 환경에서 옵션 가격 계산에 약 3분, 전체 볼라틸리티 표면 계산에 약 3시간이 소요되었다.
• 유한요소 접근법은 아메리칸 옵션 가격 결정으로의 확장 가능성이 매우 높으며, 동일한 PIDE에 대해 자유 경계 문제로 공식화된 바 있다.