[논문 리뷰] A finite element method for Dirichlet boundary control problems governed by parabolic PDEs

Wei Gong, Michael Hinze외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 01.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 볼록 다각형 영역에서 포물형 PDE에 의해 지배되는 딜리클레 경계 제어 문제를 위한 유한요소법을 제시한다. 공간에는 연속적인 일차 조각 다항식 유한요소를, 시간에는 dG(0) 시간 이산화를 사용하며, 경계 제어에는 공간-시간 $L^2$-투영을 적용한다. 주요 기여는 상태 변수와 제어 변수에 대해 최적의 사전 $L^2$-오차 한계를 $h^{1/2} + k^{1/4}$ 순서로 도출한 것으로, 수치 예제를 통해 검증되었다.

ABSTRACT

Finite element approximations of Dirichlet boundary control problems governed by parabolic PDEs on convex polygonal domains are studied in this paper. The existence of a unique solution to optimal control problems is guaranteed based on very weak solution of the state equation and $L^2(0,T;L^2(Γ))$ as control space. For the numerical discretization of the state equation we use standard piecewise linear and continuous finite elements for the space discretization of the state, while a dG(0) scheme is used for time discretization. The Dirichlet boundary control is realized through a space-time $L^2$-projection. We consider both piecewise linear, continuous finite element approximation and variational discretization for the controls and derive a priori $L^2$-error bounds for controls and states. We finally present numerical examples to support our theoretical findings.

연구 동기 및 목표

• 매우 약한 해 개념과 $L^2(0,T;L^2(\tilde{\Gamma}))$ 제어 공간을 사용하여 포물형 PDE에 의해 지배되는 딜리클레 경계 제어 문제의 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 공간에 표준 연속적인 일차 조각 다항식 유한요소를, 시간에 dG(0)를 사용하여 상태 방정식을 위한 완전 이산 유한요소 스킴을 개발하기 위해.
• 공간-시간 $L^2$-투영을 통해 딜리클레 경계 제어를 근사함으로써 안정성과 일致성을 확보하기 위해.
• 일차 조각 다항식 유한요소 및 제어의 변분 이산화에 대해 사전 오차 추정치를 분석하기 위해.
• 볼록 다각형 영역과 매끄러운 영역에서 이론적 결과를 수치 실험으로 검증하기 위해.

제안 방법

• 공간 이산화에는 적합하고 연속적이며 일차 조각 다항식 유한요소를 사용하고, 시간 이산화에는 불연속 갈레르킨(dG(0)) 방법을 적용하여 상태 방정식을 해석한다.
• 경계 조건을 약하게 강제하기 위해, 이산 유한요소 공간 위에 공간-시간 $L^2$-투영을 통해 딜리클레 경계 제어를 시행한다.
• 두 가지 제어 이산화 전략을 사용한다: (1) 일차 조각 다항식 유한요소 근사 및 (2) 수반 상태를 통한 변분 이산화.
• 최적 제어 문제를 $L^2$-노름을 사용한 상태와 제어, 그리고 파rameter $\alpha > 0$를 가진 티호노프 정규화 항을 포함하는 추적 유형 문제로 설정한다.
• 안정성과 쌍대성 원리를 사용하여, 상태 및 제어 변수에 대해 $L^2(0,T;L^2)$-노름에서 사전 오차 추정치를 유도한다.
• 분석은 볼록 다각형 영역에서 수행되며, 매우 약한 해의 정(regularity)과 포물형 PDE의 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포물형 PDE에 의해 지배되는 딜리클레 경계 제어 문제에 대해, 유한요소 근사의 수렴 속도는 $L^2$-노름에서 얼마인가?
• RQ2 공간 및 시간 이산화 파rameter인 $h$와 $k$는 상태 및 제어 변수의 오차에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 이 포물형 설정에서 일차 조각 다항식 유한요소 및 변분 이산화 방법에 대해 최적의 사전 오차 한계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 공간-시간 $L^2$-투영을 통한 경계 제어의 정확도와 안정성은 기존의 유한요소 접근법보다 어떻게 비교되는가?
• RQ5 제안된 스킴은 볼록 다각형 영역과 매끄러운 영역 모두에서 어떻게 성능을 발휘하는가? 수치 결과는 이론적 수렴 속도를 확인하는가?

주요 결과

• 제안된 유한요소법은 상태 $y$와 제어 $u$에 대해 $L^2(0,T;L^2)$-노름에서 최적의 사전 $L^2$-오차 한계를 $h^{1/2} + k^{1/4}$ 순서로 달성한다.
• 수치 실험은 이론적 수렴 속도를 확인한다: 제어 $u$의 공간 수렴 순서는 약 1.25–1.36, 상태 $y$는 1.7–1.8이며, 시간 수렴 순서는 $u$와 $y$ 모두 약 0.95–1.0이다.
• 변분 이산화 접근법은 제어의 완전한 유한요소 이산화와 유사한 정확도를 보이며, 둘 다 유사한 수렴 순서를 관찰한다.
• 단위 원에서의 예제 5.3에서, $h \to 0$으로 갈수록 제어 $u$의 오차는 완전 이산화와 변분 이산화 모두에서 약 ~1.36의 순서로 수렴한다.
• 시간 이산화 오차는 $u$와 $y$ 모두 약 0.95–1.0의 순서로 수렴하여, dG(0)를 사용함에도 불구하고 거의 최적의 시간 수렴을 나타낸다.
• 수반 상태 오차는 약 ~1.8–1.9의 순서로 수렴하여, 오차 분석 프레임워크 내에서 이중 문제 근사의 강건성을 뒷받침한다.