[논문 리뷰] A Finite Horizon Optimal Multiple Switching Problem

Boualem Djehiche, Saïd Hamadène외 1명|ArXiv.org|2007. 07. 18.

Capital Investment and Risk Analysis참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 적응된 확률과정을 위한 유한한 시간 범위 최적 다중 스위칭 문제를 후행 확률미분방정식(BSDEs)과 슈넬 포화를 이용하여 해결한다. 상태과정이 마코프 확산일 경우, 가치함수들이 상호연결된 장벽을 가진 변동성부등식계의 점성해로 구성됨을 증명한다.

ABSTRACT

We consider the problem of optimal multiple switching in finite horizon, when the state of the system, including the switching costs, is a general adapted stochastic process. The problem is formulated as an extended impulse control problem and completely solved using probabilistic tools such as the Snell envelop of processes and reflected backward stochastic differential equations. Finally, when the state of the system is a Markov diffusion process, we show that the vector of value functions of the optimal problem is a viscosity solution to a system of variational inequalities with inter-connected obstacles.

연구 동기 및 목표

• 상태 및 스위칭 비용이 일반적인 적응된 확률과정인 유한 시간 범위 최적 다중 스위칭 문제를 다루기 위해.
• 기존의 이중모드 스위칭 모델을 일반적인 확률역학적 동역학 하에서 다중 모드로 확장하기 위해.
• 반사된 BSDEs와 슈넬 포화를 이용한 확률적 해 프레임워크를 제공하기 위해.
• 최적 스위칭 문제와 상호연결된 장벽을 가진 변동성부등식계 간의 관계를 수립하기 위해.
• 반복적 BSDE 근사 방법을 통해 가치함수의 존재성과 수렴성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 적응된 상태과정을 갖는 확장된 충격 제어 문제로 최적 스위칭 문제를 수립한다.
• 수익 과정을 지배하는 가장 작은 초마르팅게일로서 가치함수를 특징짓기 위해 확률과정의 슈넬 포화를 사용한다.
• 시간에 따른 스위칭 비용을 모델링하기 위해 반사된 후행 확률미분방정식(RBSDEs)을 적용한다.
• 시간 범위를 점차 늘리고 스위칭 비용 페널티를 도입한 BSDE를 이용한 반복적 근사 체계를 구축한다.
• BSDE 해의 비교정리를 활용하여 근사 수열의 단조성과 수렴성을 증명한다.
• 반복 체계의 극한이 최적 가치함수에 해당하는 RBSDE 시스템의 유일한 해로 구성됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태과정이 일반적인 적응된 확률과정일 경우, 유한 시간 범위에서 최적 다중 스위칭은 어떻게 특징지어질 수 있는가?
• RQ2 이러한 설정에서 가치함수의 확률적 표현은 무엇인가?
• RQ3 스위칭 비용과 제도 변화는 문제의 동적계획법 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 어떤 조건에서 가치함수는 상호연결된 장벽을 가진 변동성부등식계를 만족하는가?
• RQ5 BSDE 기반의 수렴하는 반복적 체계를 통해 해를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 최적 스위칭 문제의 가치함수는 후행 SDE 해들의 비감소 수열의 극한으로 특징지어진다.
• 반복적 BSDE 근사가 L² 의미에서 진짜 가치함수로 수렴함을 증명하였으며, 과정들이 거의확실하게 수렴함을 보였다.
• 상태과정이 마코프 확산일 경우, 가치함수의 벡터는 상호연결된 장벽을 가진 변동성부등식계의 점성해이다.
• 해는 유일하고 연속적이며, 슈넬 포화 표현을 바탕으로 한 검증정리도 만족한다.
• 반복 체계는 단조적으로 수렴하며, 극한 과정은 최적 스위칭 문제의 동적계획법 원리를 만족한다.
• 수렴 속도는 명시적으로 결정되지 않았지만, 일정 비용을 가진 이중모드 케이스에서는 O(1/n)임이 알려져 있다.