[논문 리뷰] A finitely presented ${E}_{\infty}$-prop II: cellular context

Anibal M. Medina-Mardones|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\tilde{\mathcal{S}}$로 표기되는 유한 생성 셀룰라 프롭(finitely presented cellular prop)을 구성하며, 이에 대응하는 작용소는 $E_\infty$-작용소 모델이다. $\tilde{\mathcal{S}}$에 의해 유도된 간격(interval) 위의 $E_\infty$-이중대수(bialgebra) 구조를 통해 기하적 실현(geometric realization)의 단순체계(simplicial sets) 위에 자연스러운 $E_\infty$-코대수(structure)를 도출하며, 이는 부호의 차이를 제외하고 Barratt-Eccles 및 Surjection 코대수 구조를 복원한다. 이 구성은 이러한 고전적인 대수적 구조의 셀룰라적이고 조합론적인 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We construct, using finitely many generating cell and relations, props in the category of CW-complexes with the property that their associated operads are models for the $E_\infty$-operad. We use one of these to construct a cellular $E_\infty$-bialgebra structure on the interval and derive from it a natural cellular $E_\infty$-coalgebra structure on the geometric realization of a simplicial set which, passing to cellular chains, recovers up to signs the Barratt-Eccles and Surjection coalgebra structures introduced by Berger-Fresse and McClure-Smith. We use another prop, a quotient of the first, to relate our constructions to earlier work of Kaufmann and prove a conjecture of his. This is the second of two papers in a series, the first investigates analogue constructions in the category of chain complexes.

연구 동기 및 목표

• CW-복합체의 범주에서 유한 생성 셀룰라 프롭을 구성하여, 이에 대응하는 작용소가 $E_\infty$-작용소 모델이 되도록 하는 것.
• 단순체계의 정규화된 체인 위에 Barratt-Eccles 및 Surjection 코대수 구조를 셀룰라적이고 기하학적으로 실현하는 것.
• Kaufmann의 추측을 증명함으로써, 프롭 $\mathcal{MS}$가 셀룰라 체인들이 Surjection 작용소와 동형인 Arc Surface 프롭과 동형임을 보이는 것.
• 간격 위에 자연스러운 $E_\infty$-이중대수 구조를 수립하고, 이를 통해 단순체계의 기하적 실현 위에 $E_\infty$-코대수 구조를 도출하는 것.

제안 방법

• 생성 셀(cell)과 관계를 사용하여 유한 생성 셀룰라 프롭 $\tilde{\mathcal{S}}$를 구성하며, 잘 정의된 호모토피 유형을 확보한다.
• 셀룰라 체인을 통해 $\tilde{\mathcal{S}}$의 셀룰라 체인을 이용해 간격 $\mathrm{I} = [0,1]$ 위에 $E_\infty$-이중대수 구조를 구성하며, 네 가지 핵심 맵을 사용한다.
• 간격의 $E_\infty$-이중대수 구조를 이용해 임의의 단순체계의 기하적 실현 위에 자연스러운 $E_\infty$-코대수 구조를 유도한다.
• $\tilde{\mathcal{S}}$로부터 두 몫 프롭 $\mathcal{S}$와 $\mathcal{MS}$를 정의하며, $\mathcal{MS}$가 Arc Surface 프롭과 동형임을 보인다.
• 셀룰라 체인들이 부호의 차이를 제외하고 Surjection 작용소와 동형임을 보이며, Kaufmann의 추측을 확인한다.
• 입력-출력 대칭성을 사용하여 프롭의 코곱과 곱이 스트링 토폴로지의 Chas-Sullivan 곱과 Goresky-Hingston 코곱에 대응됨을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CW-복합체의 범주에서 유한 생성 셀룰라 프롭을 사용해 간격 위에 $E_\infty$-이중대수 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 간격 위의 이중대수 구조는 어떻게 단순체계의 기하적 실현 위에 자연스러운 $E_\infty$-코대수 구조를 유도하는가?
• RQ3 Kaufmann의 추측에 따르면, 프롭 $\mathcal{MS}$는 Arc Surface 프롭과 동형인가?
• RQ4 Barratt-Eccles 및 Surjection 코대수 구조는 단일한 셀룰라적 $E_\infty$-이중대수 구조를 통해 간격 위에서 유도될 수 있는가?
• RQ5 구축된 프롭의 셀룰라 체인과 Surjection 작용소의 대수적 모델 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 프롭 $\tilde{\mathcal{S}}$는 생성 셀과 관계를 사용하여 유한 생성되며, 그 셀룰라 체인은 [MM20c]에서 소개된 대수적 프롭과 동형이다.
• 작용소 $\mathcal{MS}$와 관련된 셀룰라 체인은 부호의 차이를 제외하고 Surjection 작용소와 동형이며, Kaufmann의 추측을 확인한다.
• 간격 위에 네 가지 맵을 통해 $E_\infty$-이중대수 구조를 구성하였으며, 이는 임의의 단순체계의 기하적 실현 위에 자연스러운 $E_\infty$-코대수 구조를 유도한다.
• 정규화된 체인 위의 Barratt-Eccles 및 Surjection 코대수 구조는 간격의 $E_\infty$-이중대수 구조로부터 부호의 차이를 제외하고 복원된다.
• 프롭 $\mathcal{MS}$는 Arc Surface 프롭과 동형이며, 그 셀룰라 체인은 정규화된 단순 단순한 프로베누스 대수의 Hochschild 코체인에 작용한다.
• 입력-출력 대칭성을 통해 프롭의 코곱과 곱은 [Kau18]의 체계에서 Chas-Sullivan 곱과 Goresky-Hingston 코곱에 대응된다.