[논문 리뷰] A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function

Alois Schiessl|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 14.

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한 줄 요약

논문은 임의의 홀수 수렴 차수 2P+1을 갖는 피를 계산하기 위해 고정점 반복을 도입하고, sine 기반의 유한 급수 S(x)를 사용하며 x_{n+1}=x_n+S(x_n)를 반복한다.

ABSTRACT

In this paper, we present a fixed point method for high-precision computation of number $π$ based on the sine function. Let $P\in \mathbb{N}$. We define the function: \[ S\left(x ight) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell} ight)\frac{\sin\left(x ight)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\,. \] For every initial value $x_0$ sufficiently close to $π$, the sequence \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n} ight)\;;\,n=0,1,\ldots\] is converging to $π$ with order of convergence exactly $\left(2\,P+1 ight)$. The computational tests we performed demonstrate the efficiency of the method. \[\] \[ extbf{Zusammenfassung}\] In dieser Abhandlung stellen wir ein Fixpunktverfahren zur Berechnung der Kreiszahl $π$ auf Basis der sinus Funktion vor. Es sei $P\in \mathbb{N}$. Wir definieren die Funktion: \[ S\left(x ight) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell} ight)\frac{\sin\left(x ight)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\;. \] Für jeden Startwert $x_0$ hinreichend nahe bei $π$ konvergiert die Folge \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n} ight)\;;\,n=0,1,\ldots\] gegen $π$ mit Konvergenzordnung genau $\left(2\,P+1 ight)$. Anhand von praktischen Berechnungen zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. \[ ext{Deutsche Version ab Seite 19}\]

연구 동기 및 목표

• 고정밀 피 계산의 동기를 부여하고, 사인을 이용해 고차 수렴을 얻는다.
• arcsin 시리즈와 사인 거듭제곱을 기반으로 pi를 고정점으로 타깃하는 S(x) 고정점 프레임워크를 정의한다.
• 수렴 특성, 정확한 수렴 차수(2P+1) 및 pi에서의 도함수 거동을 확립한다.
• 계수 선계산 및 고정밀 pi를 위한 반복 스킴 등 실용적 구현 세부사항을 제공한다.
• 수치 테스트 및 고정밀 계산을 통해 실용적 효율성을 입증한다.

제안 방법

• S(x) = x + sum_{k=1}^{P} (prod_{l=1}^{k-1} (2l-1)/(2l)) * sin(x)^{2k-1} /(2k-1).
• S(pi) = pi를 보이고, 도함수 S^{(k)}(pi)를 계산하여 수렴 차수를 확립한다.
• Banach 고정점 이론에 기반한 이웃 pi에서의 수렴을 보인다.
• S^{(k)}(pi) = 0 for 1 <= k <= 2P and S^{(2P+1)}(pi) = (prod_{l=1}^{P} (2l-1))^2.
• 유도된 오차 상수와 정확한 수렴 차수 2P+1를 도출한다.
• 계수 c_k를 미리 계산하고 x_{n+1} = x_n + sum_{k=1}^{P} c_k sin(x_n)^{2k-1}로의 반복 업데이트를 포함한 실용적 계산 단계를 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구성된 함수 S(x)의 고정점으로 pi를 특징지을 수 있는가?
• RQ2 고정점 pi에서의 S의 도함수는 무엇이며, 이것이 수렴 차수를 어떻게 결정하는가?
• RQ3 주어진 P에 대해 고정점 반복의 정확한 수렴 차수는 무엇인가?
• RQ4 고정밀 구현을 위해 계수를 어떻게 효율적으로 계산하고 보관할 수 있는가?
• RQ5 실용적인 고정밀 계산에서 이 방법이 얼마나 성능을 발휘하는가(예: pi의 큰 자릿수 달성)?

주요 결과

• 고정점 반복은 정확히 2P+1의 차수로 pi에 수렴한다.
• 도함수는 S^{(k)}(pi)=0 for 1 <= k <= 2P이고 S^{(2P+1)}(pi) = (prod_{l=1}^{P} (2l-1))^2를 만족한다.