[논문 리뷰] A Fixed Points Approach to stability of the Pexider Equation

Elhoucien Elqorachi, John Michael Rassias외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 13.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 40인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 완비 β-노름 공간에서 고정점 방법을 사용하여 일반화된 Pexider 함수방정식의 Hyers-Ulam-Rassias 안정성을 확립한다. 계약형 사상이 포함된 고정점 정리 적용을 통해 제어 함수 조건 하에서 일반화된 Pexider 방정식의 해가 존재하고 유일함을 증명하며, 이는 제곱형 및 젠센 유형 방정식으로의 안정성 결과 확장과 함께 명시적인 오차 한계를 제공한다.

ABSTRACT

Using the fixed point theorem we establish the Hyers-Ulam-Rassias stability of the generalized Pexider functional equation $$\frac{1}{\mid K\mid}\sum_{k\in K}f(x+k\cdot y)=g(x)+h(y),\;\;x,y\in E$$ from a normed space $E$ into a complete $β$-normed space $F$, where $K$ is a finite abelian subgroup of the automorphism group of the group $(E,+)$.

연구 동기 및 목표

• 벡터 공간에서 일반화된 Pexider 함수방정식의 Hyers-Ulam-Rassias 안정성을 조사하는 것.
• 고정점 접근법을 통해 제곱형 및 젠센 유형 방정식에 대한 기존 안정성 결과를 확장하는 것.
• 완비 β-노름 공간에서 근사 해에 대한 명시적 오차 추정치를 수립하는 것.
• 일반 제어 함수 조건 하에서 이전의 Pexider 방정식 결과를 일반화하는 것.
• 리프시츠 상수가 1보다 작은 고정점 정리를 사용하여 안정성의 통합 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 리프시츠 상수가 L < 1인 엄격하게 계약형 사상이 포함된 완비 일반화된 거리공간에서 고정점 정리를 적용한다.
• 함수 공간에 일반화된 거리공간을 정의하고 고정점 대안을 사용하여 수렴성과 유일한 고정점 존재성을 증명한다.
• 이 방법은 함수의 수열을 구성하고 일반화된 Pexider 방정식의 해로 수렴함을 증명하는 데 포함된다.
• 제어 함수 φ(x,y)는 근사 해가 정확한 방정식에서 벗어나지 않도록 하며, K와 β를 포함한 동차 조건을 만족한다.
• 해는 제곱형 부분 q(x), 젠센 유형 부분 j(x), 그리고 덧셈형 성분으로 분해되며, 반복적 추정을 통해 오차 한계가 유도된다.
• Cădariu와 Radu의 이전 결과를 일반화하여, 자동형군 작용을 고려한 Pexider 방정식에 고정점 방법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노름 공간에서 일반화된 Pexider 방정식의 근사 해가 정확한 해에 가까이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 고정점 방법은 일반화된 Pexider 방정식의 Hyers-Ulam-Rassias 안정성을 효과적으로 증명하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ3 β-노름 공간에서 근사 해와 진짜 해 사이의 명시적 오차 한계는 무엇인가?
• RQ4 자기동형군 K의 구조는 안정성과 해의 분해에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 방법은 적절한 K 선택을 통해 알려진 제곱형 및 젠센 방정식의 안정성 결과를 특수한 경우로 복원할 수 있는가?

주요 결과

• ∥(1/|K|)∑_{k∈K} f(x+k·y) - g(x) - h(y)∥_β ≤ φ(x,y)를 만족하는 사상 f에 대해 일반화된 제곱형 방정식 (1.2)에 대한 유일한 해 q(x)와 일반화된 젠센 방정식 (1.3)에 대한 유일한 해 j(x)가 존재한다.
• f(x)와 q(x) + j(x) + g(0) + h(0) 사이의 오차는 (2/2^β)(1/(1−L))χ(x,x) + (1/2^β)(1/(1−L))ψ(x,x)로 유계이며, 여기서 χ와 ψ는 제어 함수 φ의 함수로 정의된다.
• φ(x,y) ≤ θ(∥x∥^p + ∥y∥^p) 이면서 0 < p < 2β−1 및 1/2 < β < 1일 경우, 오차 한계는 ∥x∥^p에 대해 명시적으로 표현되며, 2^β, 4^β 및 3의 거듭제곱을 포함한 상수들이 등장한다.
• K = {I, σ}인 경우, 해는 제곱형 부분 q(x)와 j(σ(x)) = −j(x)를 만족하는 반대칭 젠센 부분 j(x)로 분해되며, ∥x∥^p에 대한 명시적 오차 한계가 존재한다.
• 적절한 K 선택을 통해 이 방법은 덧셈형, 제곱형 및 젠센 방정식에 대한 알려진 안정성 결과를 특수한 경우로 복원한다.
• 고정점 접근법은 ∑_{k∈K} φ(x+k·x, y+k·y) ≤ (|2K|)^β L φ(x,y) 조건을 만족할 경우 수렴성을 보장하며, 이는 계약 조건을 통한 최적의 오차 추정치를 도출한다.