[논문 리뷰] A formal calculus on the Riordan near algebra

Laurent Poinsot, Gérard Duchamp|arXiv (Cornell University)|2009. 02. 17.

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한 줄 요약

이 논문은 형식적 거듭제곱과 치환을 통한 보편적 연산을 수렴 조건 없이 허용하는 리오르단 근대수 위에서 형식적 미적분을 도입한다. 주요 기여는 비아르키메데스적 환경에서 유효한 이항급수를 사용하여 일반화된 거듭제곱을 정의하고, 지수, 로그, 역함수 등의 급수 연산을 일반화한 엄밀한 형식적 미적분 체계를 수립한 것이다.

ABSTRACT

The Riordan group is the semi-direct product of a multiplicative group of invertible series and a group, under substitution, of non units. The Riordan near algebra, as introduced in this paper, is the Cartesian product of the algebra of formal power series and its principal ideal of non units, equipped with a product that extends the multiplication of the Riordan group. The later is naturally embedded as a subgroup of units into the former. In this paper, we prove the existence of a formal calculus on the Riordan algebra. This formal calculus plays a role similar to those of holomorphic calculi in the Banach or Fréchet algebras setting, but without the constraint of a radius of convergence. Using this calculus, we define \emph{en passant} a notion of generalized powers in the Riordan group.

연구 동기 및 목표

• 리오르단 근대수 위에서 형식적 거듭제곱과 치환을 통한 연산을 확장하는 형식적 미적분을 개발한다.
• 행렬 표현을 초월하여 이항급수를 활용한 리오르단 군 내 일반화된 거듭제곱의 개념을 일반화한다.
• 수렴 반경 제약 없이 유효한 해석적 미적분 유사 프레임워크를 리오르단 근대수 위에 구축한다.
• 형식적 거듭제곱 치환의 관점에서 가역 원소와 한 매개변수 부분군을 정의하고 특성화한다.
• 일반화된 지수화 하에서 결합법칙, 가역성, 군 준동형성 등의 대수적 성질이 유지됨을 보여준다.

제안 방법

• 논문은 형식적 거듭제곱의 대수와 그 비단위 원소의 최대 이상대수의 카티esian 곱으로서 리오르단 근대수를 구성하며, 리오르단 군의 연산을 확장하는 곱을 갖춘다.
• 치환 기반의 형식적 미적분을 정의한다: 형식적 거듭제곱 $ f = \sum_{n \geq 0} f_n \mathtt{x}^n $ 에 대해, 식 $ \sum_{n \geq 0} f_n (\mu_+, \sigma_+)^{\rtimes n} $ 은 근대수 내에서 해석된다. 여기서 $ (\mu_+, \sigma_+) $ 는 $ \mu_+ \in \mathfrak{M} $, $ \sigma_+ \in \mathfrak{M} $ 를 만족하는 형식적 급수이다.
• 위상적 동형사상 $ \phi_{(\mu_+, \sigma_+)} $ 를 사용하여 $ \mathbb{K}[[\mathtt{x}]] $ 의 위상이 $ \mathbb{K}[[\mu_+, \sigma_+]] $ 에로 이식되며, 이는 위상 대수학적으로 동형이 된다.
• 일반화된 거듭제곱은 이항급수를 통해 정의된다: $ (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast \lambda} = \sum_{n \geq 0} \binom{\lambda}{n} g(\mu_+, \sigma_+)^{\ast n} $, 여기서 $ g = \sum_{n \geq 1} f_n (\mu_+, \sigma_+)^{\rtimes n} $ 이다.
• 이 미적분은 지수, 로그, 역함수 등의 연산을 지원하며, $ \exp(\sum f_n (\mu_+, \sigma_+)^{\rtimes n}) $ 이 대수 내에서 가역적임을 보여준다.
• 논문은 $ \lambda \mapsto (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast \lambda} $ 가 근대수의 단위원군 내에서 한 매개변수 부분군을 이룬다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리오르단 근대수 위에서 수렴 조건 없이 해석적 함수 미적분을 일반화할 수 있는 형식적 미적분을 정의할 수 있는가?
• RQ2 이항급수를 사용하여 리오르단 근대수 내에서 일반화된 거듭제곱을 대수적으로 정의할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 지수화 하에서 리오르단 군의 군 구조가 유지되는가?
• RQ4 치환과 동형사상은 $ \mathbb{K}[[\mathtt{x}]] $ 에서 $ \mathbb{K}[[\mu_+, \sigma_+]] $ 로 성질을 이전하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 지수, 로그, 역함수와 같은 연산들이 이 형식적 미적분 내에서 일관되게 정의될 수 있는가?

주요 결과

• 형식적 미적분은 $ \sum_{n \geq 0} f_n (\mu_+, \sigma_+)^{\rtimes n} $ 의 급수를 통해 정의되며, 이는 리오르단 군의 곱셈 구조를 확장하는 리오르단 근대수의 원소가 된다.
• 이항계수와 함께 일반화된 거듭제곱 $ (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast \lambda} $ 는 모든 $ \lambda \in \mathbb{K} $ 에 대해 잘 정의되며, 리오르단 군 내에 존재한다.
• 사상 $ \lambda \mapsto (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast \lambda} $ 는 근대수의 단위원군 내에서 한 매개변수 부분군을 이룬다. 이는 $ (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast(\alpha+\beta)} = (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast\alpha} \rtimes (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast\beta} $ 를 만족한다.
• 만약 $ f_0 = 1 $ 이면, 급수 $ \sum_{n \geq 0} f_n (\mu_+, \sigma_+)^{\rtimes n} $ 는 근대수 내에서 가역적이며, 그 역원은 $ \sum_{n \geq 0} (-1)^n g(\mu_+, \sigma_+)^{\ast n} $ 이다. 여기서 $ g $ 는 상수항이 없는 급수이다.
• $ \mathbb{K}[[\mu_+, \sigma_+]] $ 는 위상 대수학적으로 $ \mathbb{K}[[\mathtt{x}]] $ 와 동형이므로, 동형사상 $ \phi_{(\mu_+, \sigma_+)} $ 를 통해 해석적 성질을 이전할 수 있다.
• 우측 치환 $ \sigma(\mu_+, \sigma_+) $ 는 $ \mathbb{K}[[\mu_+, \sigma_+]] $ 내에서 유효하며, 이는 대수의 동형 사본을 반복적으로 구성할 수 있게 하여 무한한 계층의 이러한 구조를 이끌어낸다.