[논문 리뷰] A fractional-order difference Cournot duopoly game with long memory

Baogui Xin, Wei Peng외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 11.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 88인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 장기 기억을 반영하기 위해 캡투 분수계수 차분을 사용하는 분수계수 차분 쿠르노 duopoly 모델을 제안한다. 이 모델은 기업이 이전 데이터를 기반으로 결정보를 내릴 수 있도록 하며, 분수계수 ν < 0.4일 경우 복잡한 동역학, 특히 혼돈이 발생함을 보여주며, 0-1 검증 및 분기 분석을 통해 확인된다. 이는 장기 기억 효과가 이중독점 시장에서 불안정성을 유도할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We reconsider the Cournot duopoly problem in light of the theory for long memory. We introduce the Caputo fractional-order difference calculus to classical duopoly theory to propose a fractional-order discrete Cournot duopoly game model, which allows participants to make decisions while making full use of their historical information. Then we discuss Nash equilibria and local stability by using linear approximation. Finally, we detect the chaos of the model by employing a 0-1 test algorithm.

연구 동기 및 목표

• 고전적 쿠르노 이중독점 모델에 장기 기억 역학을 분수계수 차분 미분법을 통해 통합하기 위해.
• 이중독점 시장 환경에서 기업 행동에 대한 역사적 정보의 영향을 분석하기 위해.
• 유도된 비선형 이산 시스템의 안정성 및 혼돈 행동을 조사하기 위해.
• 분수계수 이중독점 모델에서 혼돈을 탐지하기 위해 0-1 검증 알고리즘을 적용하기 위해.
• 분수계수 차분 시스템의 적용 가능성을 산업경제학 및 게임 이론 분야로 확장하기 위해.

제안 방법

• 장기 기억 효과를 모델링하기 위해 캡투 분수계수 차분을 사용하는 이산 쿠르노 이중독점 모델을 수립한다.
• 나슈 균형과 국소 안정 조건을 분석하기 위해 선형 근사법을 적용한다.
• 자기행렬의 특성 방정식을 유도하여 국소 점근적 안정성을 결정한다.
• 이동 성분 (p, s)과 상관계수 K를 분석하여 혼돈 행동을 탐지하기 위해 0-1 검증 알고리즘을 사용한다.
• 분기 다이어그램, 시계열, 단면도, K 산점도를 생성하기 위해 파arameter 세트를 사용한 수치 시뮬레이션을 수행한다.
• 감마 함수를 포함하는 분수계수 차분 공식을 적용한다: $ q_i(n) = q_i(0) + \frac{1}{\Gamma(\nu)} \sum_{i=1}^{n} \frac{\Gamma(n-i+\nu)}{\Gamma(n-i+1)} \alpha_i q_i(i-1)(b - (c_i + 2d)q_i(i-1) - d q_j(i-1)) $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계수 차분을 통한 장기 기억 통합이 쿠르노 이중독점의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 분수계수 이산 이중독점 모델에서 혼돈이 발생하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 분수계수 ν가 기업 생산량의 분기 구조와 동적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 0-1 검증 알고리즘이 이 장기 기억 경제 시스템에서 혼돈을 신뢰성 있게 탐지할 수 있는 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 분수계수 이중독점 모델의 나슈 균형은 해석적으로 결정되고 국소 안정성에 대해 확인될 수 있는가?

주요 결과

• 분수계수 ν = 0.99일 때 비유계 나슈 균형점 $ E_4 = (0.4836, 0.4726) $ 는 $ \text{tr}J = -2.3101 $, $ \det J = 0.67378 $, 그리고 $ \nu > \log_2\left(\frac{\sqrt{(\text{tr}J)^2 - 4\det J} - \text{tr}J}{2}\right) = 0.9765 $ 를 만족하여 국소 점근적 안정성이 확인된다.
• 분수계수 ν < 0.4일 경우 0-1 검증 결과 $ K \approx 1 $ 이며, ν = 0.2일 때 $ K = 0.9752 $ 이므로 시스템에서 혼돈이 발생한다.
• 기업 1의 생산량 분기 다이어그램과 K의 산점도는 강한 일치를 보이며, ν ∈ (0, 0.4) 범위에서 혼돈 동역학이 발생함을 확인한다.
• ν = 0.2일 때 기업 생산량의 시계열은 비정규적이고 혼돈스럽고, 단면도는 이상한 급속기의 구조를 보인다.
• ν = 0.2일 때 (p,s)-평면 내 궤적은 브라운 운동과 유사하게 나타나 0-1 검증을 통해 혼돈 행동이 확인된다.
• 모델은 장기 기억 효과가 단순한 이중독점 환경에서도 시장 역학을 크게 변화시키며, 불안정성과 복잡한 행동을 유도함을 보여준다.