[논문 리뷰] A Framework of Quantum Strong Exponential-Time Hypotheses

Harry Buhrman, Subhasree Patro외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 BQP에 속하는 문제에 대한 조건부 양자 시간 하한을 확립하기 위해 강력한 지수시간 가설(SETH)의 양자 버전인 양자 SETH(QSETH)를 도입한다. 양자 질의 하한과 블랙박스 문제로부터의 감소를 활용하여, 편집 거리(Edit Distance)에 대해 조건부 Ω(n^1.5)의 양자 시간 하한을 도출하고, QSETH 하에서 유용한 작업의 증명(Proofs of Useful Work)에서 이중적 간격을 유지함으로써 양자 속도 향상이 고전적 세밀한 복잡도 가정을 붕괴시키지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

The closest pair problem is a fundamental problem of computational geometry: given a set of n points in a d-dimensional space, find a pair with the smallest distance. A classical algorithm taught in introductory courses solves this problem in O(n log n) time in constant dimensions (i.e., when d = O(1)). This paper asks and answers the question of the problem’s quantum time complexity. Specifically, we give an Õ(n^(2/3)) algorithm in constant dimensions, which is optimal up to a polylogarithmic factor by the lower bound on the quantum query complexity of element distinctness. The key to our algorithm is an efficient history-independent data structure that supports quantum interference. In polylog(n) dimensions, no known quantum algorithms perform better than brute force search, with a quadratic speedup provided by Grover’s algorithm. To give evidence that the quadratic speedup is nearly optimal, we initiate the study of quantum fine-grained complexity and introduce the Quantum Strong Exponential Time Hypothesis (QSETH), which is based on the assumption that Grover’s algorithm is optimal for CNF-SAT when the clause width is large. We show that the naïve Grover approach to closest pair in higher dimensions is optimal up to an n^o(1) factor unless QSETH is false. We also study the bichromatic closest pair problem and the orthogonal vectors problem, with broadly similar results.

연구 동기 및 목표

• 세밀한 복잡도 이론을 양자 계산으로 확장하기 위해 강력한 지수시간 가설(SETH)의 양자 버전을 체계화하는 것.
• 양자 질의 복잡도를 활용하여 고전적 SETH 기반의 조건부 하한을 양자 환경으로 이행하는 것.
• 특히 편집 거리와 유용한 작업의 증명에 대해 QSETH 가정 하에서 새로운 양자 시간 하한을 확립하는 것.
• 특히 그로버 알고리즘의 이중적 속도 향상에 대해 양자 계산 하에서 고전적 세밀한 복잡도 가정의 강건성 분석하기

제안 방법

• 그로버 알고리즘의 이중적 속도 향상을 통합한 고전적 SETH의 양자 버전인 양자 강력 지수시간 가설(QSETH)의 프레임워크를 제안한다.
• 블랙박스 문제에 대한 양자 적대자 방법과 질의 복잡도 하한을 활용하여 조건부 양자 시간 하한을 유도한다.
• PPedit와 같은 약속 문제에서 편집 거리 및 유용한 작업의 증명과 같은 알려진 문제로의 감소를 적용하여 하한을 이행한다.
• 하한이 입력 압축에 의해 무효화되지 않도록 보장하기 위해 압축 무관성(Compression-oblivious) 성질의 개념을 도입한다.
• 깊이 제한된 딱시 언어와 같은 구조적 입력을 가진 문제에 대해 날카로운 하한을 도출하기 위해 약속 버전의 NC-QSETH를 활용한다.
• 기존의 알려진 양자 질의 하한(예: 수직 벡터 및 딱시 언어에 대한 것)을 감소를 통해 시간 복잡도로 매핑한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 SETH 기반의 조건부 하한을 그로버 알고리즘의 이중적 속도 향상 요소를 포함한 SETH의 양자 버전을 통해 양자 환경으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 양자 알고리즘이 CNF-SAT 문제에서 그로버의 이중적 속도 향상보다 크게 슈퍼포지션을 향상시킬 수 없다는 가정 하에서, 편집 거리의 양자 시간 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 QSETH를 가정할 경우, 유용한 작업의 증명 체계에서 검증자와 증명자 사이의 이중적 간격이 유지되는가?
• RQ4 블랙박스 문제에 대한 양자 질의 하한은 BQP 문제에 대한 양자 시간 하한으로 어떻게 이행되는가?
• RQ5 패리티나 딱시 언어 멤버십과 같은 자연스러운 성질이 압축 무관성인지 확인하여, 입력 압축 하에서도 하한이 유지되는가?

주요 결과

• NC-QSETH의 약속 버전 하에서, 편집 거리 계산의 오류 확률이 일정한 양자 시간 복잡도는 Ω(n^1.5)이다.
• 깊이 k = ω(log n)인 제한된 딱시 언어의 양자 질의 복잡도는 Ω(n^{1−o(1)})이며, 이는 [AGS19]에서 제기된 열린 문제의 일부를 해결한다.
• 유용한 작업의 증명 체계에 대해 n^2의 양자 시간 하한은 QSETH 하에서도 유지되며, 검증자와 증명자 사이의 이중적 간격이 그대로 유지된다.
• 프레임워크는 고전적 SETH 기반 하한을 양자 환경으로 성공적으로 이행하였으며, 일관된 이중적 요소를 유지함으로써 그로버의 속도 향상이 편집 거리와 같은 문제의 세밀한 복잡도 가정을 무효화하지 않음을 보여준다.
• 백색 상자 환경에서 PPedit에 대한 양자 질의 하한은 Ω(2^{0.75n})이며, 이는 편집 거리에 대한 조건부 양자 시간 하한을 암시한다.
• 프레임워크는 성질이 압축 무관성일 경우 고전적 조건부 하한이 양자 환경에서도 유지되는 조건을 규명한다.