[논문 리뷰] A Fredholm transformation for the rapid stabilization of a degenerate parabolic equation

Ludovick Gagnon, Pierre Lissy외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 12.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 21인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 디리클레 경계 제어를 갖는 열화된 포물형 편미분방정식의 빠른 지수 안정화를 달성하기 위해 프레드홀름 적분 변환을 제안한다. 비선형성의 영향을 받는 불안정한 시스템을, 지수 감쇠 속도가 미리 알려져 있고 임의로 크게 설정 가능한 목표 시스템으로 변환하기 위해, 쌍곡형 편미분방정식을 만족하는 커널을 이용한 변환을 통해, 저자들은 이 변환이 에너지 공간 내에서 잘 정의되고, 연속적이며, 가역적임을 증명하며, 원래 시스템의 빠른 안정화를 보장한다.

ABSTRACT

This paper deals with the rapid stabilization of a degenerate parabolic equation with a right Dirich-let control. Our strategy consists in applying a backstepping strategy, which seeks to find an invertible transformation mapping the degenerate parabolic equation to stabilize into an exponentially stable system whose decay rate is known and as large as we desire. The transformation under consideration in this paper is Fredholm. It involves a kernel solving itself another PDE, at least formally. The main goal of the paper is to prove that the Fredholm transformation is well-defined, continuous and invertible in the natural energy space. It allows us to deduce the rapid stabilization.

연구 동기 및 목표

• 오른쪽 디리클레 제어를 갖는 열화된 포물형 편미분방정식의 빠른 지수 안정화를 달성하기 위해.
• 자연 에너지 공간 내에서 프레드홀름 변환이 잘 정의되고 가역적임을 확립하기 위해.
• 버트레르 스텝 기법을 열화된 편미분방정식에 적용하기 위해, 볼테라 커널이 아닌 프레드홀름 형 커널을 사용하기 위해.
• 안정화된 시스템의 감쇠 속도를 임의로 크게 만들 수 있음을 보여주기 위해.
• 프레드홀름 변환에서 유도된 커널 편미분방정식에 대한 엄밀한 분석을 제공하기 위해.

제안 방법

• 원래의 열화된 포물형 편미분방정식을 지수 안정성을 확보하기 위해 음의 잠재력 항을 갖는 목표 시스템으로 변환하기 위해 역스텝 기법을 적용한다.
• 역스텝 설계에서 유도된 쌍곡형 편미분방정식을 만족하는 커널을 갖는 프레드홀름 적분 변환을 구성한다.
• 기능적 해석 기법과 스펙트럼 이론을 이용해 에너지 공간 내에서 커널의 존재성과 정칙성을 증명한다.
• 연산자 이론적 접근과 스펙트럼 분석을 통해 변환의 연속성과 가역성을 확립한다.
• 변환의 가역성을 활용해 목표 시스템의 지수 안정성을 원래 시스템으로 이 trasfer한다.
• 열화된 연산자의 고유함수와 고유값의 구조를 활용해 커널의 성질을 분석하고 특이점을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 제어를 갖는 열화된 포물형 편미분방정식에 대해, 빠른 안정화를 위한 프레드홀름 변환이 엄밀하게 구성될 수 있는가?
• RQ2 편미분방정식을 만족하는 프레드홀름 커널이 자연 에너지 공간 내에서 잘 정의되고 연속적인가?
• RQ3 프레드홀름 변환이 가역적이라면 원래 시스템의 지수 안정성이 보장되는가?
• RQ4 커널 설계를 통해 안정화된 시스템의 감쇠 속도를 임의로 크게 만들 수 있는가?
• RQ5 열화된 편미분방정식의 맥락에서 프레드홀름 변환의 가역성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 열화된 포물형 편미분방정식을 지수 안정 목표 시스템으로 변환하는 프레드홀름 변환은 에너지 공간 내에서 잘 정의되어 있다.
• 변환은 연속적이며 가역적이며, 이는 안정성이 변환 하에 유지됨을 보장한다.
• 프레드홀름 변환의 커널은 쌍곡형 편미분방정식을 만족하며, 스펙트럼 분석을 통해 그 정칙성이 확립된다.
• 목표 시스템의 매개변수 λ를 충분히 크게 선택함으로써 안정화된 시스템의 감쇠 속도를 임의로 크게 만들 수 있다.
• 가역성의 증명은 스펙트럼 이론과 해석적 함수 계산에 기반하며, 특히 연산자가 비자명한 핵을 갖는 경우에 특히 중요하다.
• 특히 x=0에서의 열화성으로 인한 과제를 잘 정의된 커널과 에너지 공간 프레임워크를 통해 성공적으로 극복하였다.