[논문 리뷰] A fully discrete variational scheme for solving nonlinear Fokker-Planck equations in higher space dimensions

Oliver Junge, Daniel Matthes외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 25.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 고차원 공간에서 비선형 Fokker-Planck 방정식을 해결하기 위해 $L^2$-Wasserstein 거리에서의 기울기 흐름 구조와 유동 지도를 통한 후행 밀도 표현을 활용한 완전 이산적이고 변분적 라그랑주 스킴을 제안한다. 이 스킴은 엔트로피 감소, 질량 보존, 정규성 조건 하에서 수렴성의 특성을 지닌다. 2차원에서의 수치적 검증이 수행되었다.

ABSTRACT

We introduce a novel spatio-temporal discretization for nonlinear Fokker-Planck equations on the multi-dimensional unit cube. This discretization is based on two structural properties of these equations: the first is the representation as a gradient flow of an entropy functional in the $L^2$-Wasserstein metric, the second is the Lagrangian nature, meaning that solutions can be written as the push forward transformation of the initial density under suitable flow maps. The resulting numerical scheme is entropy diminishing and mass conserving. Further, the scheme is weakly stable, which allows us to prove convergence under certain regularity assumptions. Finally, we present results from numerical experiments in space dimension $d=2$.

연구 동기 및 목표

• 고차원에서 비선형 Fokker-Planck 방정식을 위한 구조를 유지하는 수치적 스킴을 개발한다.
• $L^2$-Wasserstein 거리에서의 기울기 흐름 구조와 미분형 사상 유동을 통한 라그랑주 공식화를 활용한다.
• 완전 이산적 프레임워크 내에서 핵심 물리적 성질인 엔트로피 감소와 질량 보존을 보장한다.
• 압력 함수, 외부 퍼텐셜, 초기 자료에 대한 정규성 조건 하에서 스킴의 약한 안정성과 수렴성을 확립한다.
• 유한차원 미분형 사상 다양체 위에서의 최소화 운동 접근법을 사용하여 2차원 공간에서 스킴을 수치적으로 검증한다.

제안 방법

• Fokker-Planck 방정식을 $L^2$-Wasserstein 거리에서 엔트로피 함수의 기울기 흐름으로 공식화한다.
• 해를 시간에 따라 변화하는 미분형 사상 $\mathfrak{T}_t$에 의한 기준 밀도의 후행 밀도로 표현한다.
• 미분형 사상 지도 $\mathfrak{T}_\Delta^n$ 의 진화를 증분적 미분형 사상 $\mathfrak{t}_\Delta^m$ 의 복합으로 이산화한다.
• 미분형 사상 다양체 위에서 에너지 함수의 기울기 흐름에 대한 최소화 운동 스킴을 적용하여 시간 이산화된 작용 함수를 최소화한다.
• 증분적 미분형 사상에 대해 유한차원 근사법을 사용하여 계산 가능성을 확보하면서 기하학적 구조를 유지한다.
• 측도 변화와 자코비안 변환을 통해 $L^2(\mathrm{d}x)$-기울기와 미분형 사상 다양체 위의 $L^2(\bar{u})$-기울기 간의 관계를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원에서 비선형 Fokker-Planck 방정식에 대해 엔트로피와 질량 보존을 유지하는 완전 이산적 변분 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 Fokker-Planck 방정식의 라그랑주 구조를 공간과 시간 모두에서 이산화하면서 기하학적 일致성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 압력 함수와 외부 퍼텐셜에 대한 정규성 조건 하에서 이러한 스킴의 수렴 거동은 어떠한가?
• RQ4 미분형 사상 다양체 위에서의 최소화 운동 접근법은 안정성과 구조 보존을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 2차원 공간에서의 스킴의 수치적 성능은 어떻게 되며, 특히 엔트로피 감소와 질량 보존 측면에서 어떤가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 엔트로피 감소 및 질량 보존 특성을 지녀 연속 문제의 핵심 물리적 성질을 그대로 이어받는다.
• 스킴은 약한 안정성을 지녀, $\mathrm{P}$, $V$, $u^0$에 대한 적절한 정규성 조건 하에서 수렴성의 증명이 가능하다.
• 이산적 진화는 유한차원 미분형 사상 다각형 위에서 최소화 운동을 통해 구성되어 계산 가능성을 확보한다.
• 에너지 함수의 기하학적 기울기는 후행 측도와 자코비안 행렬식을 이용해 명시적으로 기술된다.
• 2차원에서의 수치 실험은 스킴이 시간이 지남에 따라 엔트로피 감소와 질량 보존을 유지할 수 있음을 보여준다.
• 이론적 분석은 $L^2(\mathrm{d}x)$-기울기와 미분형 사상 다각형 위의 $L^2(\bar{u})$-기울기 간의 대응 관계가 측도 변화와 후행 구조를 통해 확인됨을 확인한다.