[논문 리뷰] A Fully Equivalent Global Pressure Formulation for Three-Phase Compressible Flow

Guy Chavent|ArXiv.org|2009. 01. 11.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다공성 매체 내에서 압축성 삼상 유동에 대해 완전히 등가적인 전역 압력 공식을 제시하며, 새로운 전역 압력 변수를 통해 총 체적 유량이 고전적 다arcy 법칙을 따르게 한다. 이 공식은 전역 표면압력과 이동도 함수로 정의되는 총 미분(TD)-삼상 자료에 대해서만 유효하며, TD-일관성 조건을 만족하는 이중상 자료로부터 정확한 보간을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce a new global pressure formulation for immiscible three-phase compressible flows in porous media which is fully equivalent to the original equations, unlike the one introduced in \cite{CJ86}. In this formulation, the total volumetric flow of the three fluids and the global pressure follow a classical Darcy law, which simplifies the resolution of the pressure equation. However, this global pressure formulation exists only for Total Differential (TD) three-phase data, which depend only on two functions of saturations and global pressure: the global capillary pressure and the global mobility. Hence we introduce a class of interpolation which constructs such TD-three-phase data from any set of three two-phase data (for each pair of fluids) which satisfy a TD-compatibility condition.

연구 동기 및 목표

• 기존 연구에서 존재하는 근사치를 피하는 삼상 압축성 유동에 대한 완전히 등가적인 전역 압력 공식을 개발하는 것.
• 그러한 전역 압력 공식이 존재하기 위한 필요 및 충분조건(TD-조건)을 규명하는 것.
• 새로운 TD-보간 클래스를 도입하여 이중상 실험 자료에서 삼상 상대 투수도 및 표면압력을 일관적으로 보간할 수 있도록 하는 것.
• 보간된 삼상 자료가 삼각도 경계에서 원래의 이중상 자료를 정확히 따르도록 보장하는 것.
• 고전적 다arcy 거동을 갖는 단일 전역 압력 방정식으로 삼상 유동 시스템을 단순화하여 수치 시뮬레이션을 용이하게 하는 것.

제안 방법

• 전역 압력 변수 $ P = P_2 + P_{cg}(S, P) $ 를 도입하며, 여기서 $ P_{cg} $ 는 전역 표면압력 함수이다.
• TD-조건 하에서 원래의 삼상 방정식과 완전히 등가적인 전역 다arcy 법칙을 유도하여 총 체적 유량 $ q $ 를 보장한다.
• 상대 투수도와 표면압력이 전역 표면압력 $ P_{cg} $ 와 총 이동도 $ d $ 라는 두 함수에만 의존하는 자료를 TD-삼상 자료로 정의한다.
• 일관된 보간을 위해 삼각도 경계에 있는 세 개의 이중상 자료 세트( $ \tilde{\mathbb{T}} $ 에서)가 충족해야 하는 TD-일관성 조건을 수립한다.
• 두 단계 보간을 제안한다: 먼저, 이중상 자료에서 유도된 딜리클레 및 노이만 경계 조건을 만족하는 $ \mathbb{T} $ 에서의 $ P_{cg} $ 와 $ d $ 를 구성한다.
• 삼각도 전역에서 매끄럽고 일관된 보간을 확보하기 위해, $ P_{cg} $ 는 이중편미분 방정식, $ d $ 는 라플라스 방정식을 각각 사용하며 경계 조건을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다공성 매체 내 삼상 압축성 유동에 대해 완전히 등가적인 전역 압력 공식을 유도할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 어떻게 하면 이중상 실험 자료 세트에서 삼상 상대 투수도 및 표면압력 자료를 일관적으로 보간할 수 있는가?
• RQ3 삼상 자료가 고전적 다arcy 거동을 갖는 전역 압력 공식을 허용하기 위해 만족해야 할 수학적 구조(TD-조건)는 무엇인가?
• RQ4 부피 계수를 근사하지 않고도 전역 압력 공식을 구성할 수 있는가? 이를 통해 원래 방정식과 완전히 등가성을 확보할 수 있는가?
• RQ5 삼각도 모서리에서 주어진 이중상 자료와 일치하기 위해 전역 표면압력 및 이동도 함수에 어떤 경계 조건을 적용해야 하는가?

주요 결과

• 삼상 압축성 유동에 대해 완전히 등가적인 전역 압력 공식이 존재하려면 삼상 자료가 총 미분(TD)-조건을 만족해야 하며, 그 조건이 유일한 필요 및 충분조건이다.
• 삼상의 총 체적 유량 $ q $ 는 전역 압력 $ P $ 를 기준으로 고전적 다arcy 법칙을 따르며, 이는 수치적 해법을 단순화시킨다.
• 전역 표면압력 $ P_{cg}(s,p) $ 와 총 이동도 $ d(s,p) $ 는 그 경계값 $ \partial\mathbb{T} $ 가 주어진 세 개의 이중상 자료 세트와 일치하도록 선택되어야 한다.
• TD-일관성 조건은 삼각도 모서리에 있는 세 개의 이중상 자료 세트가 단일 세트의 TD-삼상 자료와 일관성을 갖도록 보장한다.
• 전역 압력 공식은 안정성 조건 $ 1 - \partial P_{cg}/\partial p > 0 $ 를 만족하며, 현실적인 압축성 가정 하에서는 $ 1 > 1 - \partial P_{cg}/\partial p > 0 $ 이며, 이는 문제의 잘 정의됨을 보장한다.
• 이중편미분 방정식을 사용하여 $ P_{cg} $ 와 라플라스 방정식을 사용하여 $ d $ 를 구함으로써, 이중상 자료에서 유도된 경계 조건을 만족하는 매끄러운 일관성 있는 TD-삼상 자료 보간이 가능해진다.