[논문 리뷰] A functional central limit theorem for branching random walks, almost sure weak convergence, and applications to random trees

Rudolf Grübel, Zakhar Kabluchko|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 02.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초위상 분열 랜덤 워크에 대해 기능적 중심극한정리(central limit theorem)를 수립하며, 조건부 분포가 랜덤 분산을 가진 가우시안 해석함수로 거의확실한 약한 수렴을 보임을 증명한다. 이 결과를 바탕으로 무작위 이진 탐색 트리의 경로 길이에 대해 중심극한정리를 도출하여, 네이닝거(Neininger)의 결과를 약한 수렴에서 거의확실한 약한 수렴으로 대체하고, 이에 더해 균일한 무작위 재귀 트리로 확장한다.

ABSTRACT

Let $W_{\\infty}(\\beta)$ be the limit of the Biggins martingale $W_n(\\beta)$ associated to a supercritical branching random walk with mean number of offspring $m$. We prove a functional central limit theorem stating that as $n\ o\\infty$ the process $$ D_n(u):= m^{\\frac 12 n} \\left(W_{\\infty}\\left(\\frac{u}{\\sqrt n}\ ight) - W_{n}\\left(\\frac{u}{\\sqrt n}\ ight) \ ight) $$ converges weakly, on a suitable space of analytic functions, to a Gaussian random analytic function with random variance. Using this result we prove central limit theorems for the total path length of random trees. In the setting of binary search trees, we recover a recent result of R. Neininger [Refined Quicksort Asymptotics, Rand. Struct. and Alg., to appear], but we also prove a similar theorem for uniform random recursive trees. Moreover, we replace weak convergence in Neininger's theorem by the almost sure weak (a.s.w.) convergence of probability transition kernels. In the case of binary search trees, our result states that $$ L\\left\\{\\sqrt{\\frac{n}{2\\log n}} \\left(EPL_{\\infty} - \\frac{EPL_n-2n\\log n}{n}\ ight)\\Bigg | G_{n}\ ight\\} \ o \\{\\omega\\mapsto N_{0,1}\\}, \\quad \ ext{a.s.w.},$$ where $EPL_n$ is the external path length of a binary search tree $X_n$ with $n$ vertices, $EPL_{\\infty}$ is the limit of the R\\'egnier martingale, and $L(\\,\\cdot\\, |G_n)$ denotes the conditional distribution w.r.t. the $\\sigma$-algebra $G_n$ generated by $X_1,\\ldots,X_n$. A.s.w. convergence is stronger than weak and even stable convergence. We prove several basic properties of the a.s.w. convergence and study a number of further examples in which the a.s.w. convergence appears naturally. These include the classical central limit theorem for Galton-Watson processes and the P\\'olya urn.

연구 동기 및 목표

• 초위상 분열 랜덤 워크에서의 빅킨스 마팅게일(functional central limit theorem)을 수립하기 위해.
• 약한 수렴과 안정 수렴보다 더 강한, 거의확실한 약한 수렴을 갖는 확률 전이 커널의 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기능적 중심극한정리를 적용하여 랜덤 이진 탐색 트리와 균일한 랜덤 재귀 트리에서 총 경로 길이에 대한 제2차 점근적 성질을 도출하기 위해.
• 네이닝거의 최근 이진 탐색 트리에 대한 중심극한정리를, 약한 수렴에서 거의확실한 약한 수렴으로 대체함으로써 보완하기 위해.
• 정규화된 경로 길이 차이의 극한 분포가 트리 역사 조건 하에 표준 정규분포로 거의확실하게 약한 수렴함을 증명하기 위해.

제안 방법

• 과정 $ D_n(u) = m^{n/2} \left( W_\infty(u/\sqrt{n}) - W_n(u/\sqrt{n}) \right) $ 에 대해 기능적 중심극한정리를 도출하여, 적절한 해석함수 공간에서 랜덤 분산을 가진 가우시안 해석함수로의 약한 수렴을 보임.
• D_n(u) 의 수렴을 이용하여 랜덤 트리에서 경로 길이 기능에 대한 조건부 분포의 거의확실한 약한 수렴을 확립함.
• 유일 프로세스와 포아송 점 프로세스에 대해 반복 로그 법칙을 적용하여, n번째 입자가 탄생하는 시간 $ T_n $ 의 정밀한 점근적 성질을 확보함.
• 정규화된 경로 길이 차이를 세 항으로 분해하여, 두 항이 거의확실하게 0으로 수렴하고, 나머지 한 항이 기능적 중심극한정리를 통해 수렴함을 보임.
• 제품 확률공간과 조건부 독립성을 활용하여, $ \mathcal{F}_{T_n} $ 에서의 조건부에서 $ \mathcal{G}_n $, 즉 트리 프로세스의 역사로의 조건부를 단순화함.
• 제4.10조 및 제4.12조를 활용하여, 제품공간에서의 수렴을 원래 확률공간으로 이 trasfer 하여 거의확실한 약한 수렴을 확보함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 빅킨스 마팅게일의 극한과 유한시간 버전 간의 차이가 기능적 중심극한정리를 만족하는가?
• RQ2 랜덤 트리에서 경로 길이 기능에 대해 조건부 분포의 거의확실한 약한 수렴을 확립할 수 있는가?
• RQ3 이진 탐색 트리의 외부 경로 길이에 대한 중심극한정리는 약한 수렴보다 더 강한 수렴 조건 하에서도 성립하는가?
• RQ4 정규화된 경로 길이 변동의 극한 분포가 거의확실하게 약한 수렴으로 표준 정규분포로 수렴하는가?
• RQ5 분열 랜덤 워크에 대한 기능적 중심극한정리를 확장하여, 랜덤 재귀 트리에 대한 제2차 점근적 성질을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 과정 $ D_n(u) = m^{n/2} \left( W_\infty(u/\sqrt{n}) - W_n(u/\sqrt{n}) \right) $ 는 적절한 해석함수 공간에서 랜덤 분산을 가진 가우시안 해석함수로 약한 수렴함.
• 이진 탐색 트리의 경우, 조건부 분포 $ \mathcal{L}\left\{ \sqrt{\frac{n}{2\log n}} \left( \text{EPL}_\infty - \frac{\text{EPL}_n - 2n\log n}{n} \right) \Big| \mathcal{G}_n \right\} $ 는 거의확실하게 표준 정규분포로 수렴함.
• 이 수렴은 약한 수렴과 안정 수렴보다 더 강하며, 랜덤 트리의 맥락에서 전이 커널의 거의확실한 약한 수렴을 확립함.
• 결과는 균일한 랜덤 재귀 트리로도 확장되며, 거의확실한 약한 수렴을 갖는 유사한 중심극한정리를 증명함.
• 증명은 $ T_n $, 즉 n번째 입자가 탄생하는 시간에 대한 정밀한 점근적 성질에 의존하며, 포아송 프로세스와 유일 프로세스에 대한 반복 로그 법칙을 활용함.
• 정규화된 경로 길이 차이를 세 항으로 분해하면, 두 항이 거의확실하게 0으로 수렴하고, 나머지 한 항은 기능적 중심극한정리를 통해 수렴함으로써 최종 수렴 결과를 이끌어냄.