[논문 리뷰] A functional limit theorem for limit order books

Christian Bayer, Ulrich Horst외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 고빈도 스케일링 하에서 주문도서(LOB)에 대한 기능적 극한정리(functional limit theorem)를 수립하며, 주문 도착률이 증가하고 개별 주문의 영향력이 감소함에 따라 최고 매수/매도 가격의 연속된 역학과 체결량 밀도가 반사 브라운 운동과 두 개의 결합된 선형 스토크라스틱 편미분방정식(SPDEs)에 의해 이끄는 시스템으로 수렴함을 보여준다. 주요 기여는 고빈도에서의 이산적, 고주기적 LOB 역학과 연속적인 SPDE 시스템 간의 엄밀한 수학적 연결을 제공하는 연속시간 극한 모델을 제시한 것이다.

ABSTRACT

We consider a stochastic model for the dynamics of the two-sided limit order book (LOB). For the joint dynamics of best bid and ask prices and the standing buy and sell volume densities, we derive a functional limit theorem, which states that our LOB model converges to a continuous-time limit when the order arrival rates tend to infinity, the impact of an individual order arrival on the book as well as the tick size tend to zero. The limits of the standing buy and sell volume densities are described by two linear stochastic partial differential equations, which are coupled with a two-dimensional reflected Brownian motion that is the limit of the best bid and ask price processes.

연구 동기 및 목표

• 이산적 가격 수준과 매수/매도 주문의 체결량 밀도를 갖는 스토크라스틱 프로세스로 주문도서(LOB)를 수식화하여 최고 매수 및 매도 가격과 체결량 밀도의 연속된 역학을 모델링한다.
• 주문 도착률이 커지고 개별 주문의 영향력이 0으로 수렴할 때 LOB의 점근적 행동을 조사한다.
• 가격 움직임과 체결량 밀도 변화를 모두 포괄하는 연속시간 극한을 도출한다.
• 이산적, 고빈도 LOB 역학과 연속적인 SPDE 시스템 간의 엄밀한 수학적 연결을 수립한다.
• 반사 브라운 운동에 의해 이끄는 결합된 SPDE 시스템으로서 LOB의 극한 행동을 특성화한다.

제안 방법

• 매수 및 매도 주문에 대해 이산적 가격 수준과 체결량 밀도를 갖는 스토크라스틱 프로세스로 LOB를 수식화한다.
• 주문 도착 강도가 무한대로 향하고 틱 크기가 0으로 수렴하며 개별 주문의 영향력이 감소하는 스케일링 체제를 도입한다.
• 스케일링된 LOB 프로세스의 약한 수렴을 도출하기 위해 기능적 중심극한정리 기법을 적용한다.
• 최고 매수 및 매도 가격 프로세스의 극한이 이차원 반사 브라운 운동임을 보여준다.
• 체결량 밀도 프로세스의 극한이 반사 브라운 운동에 의해 이끄는 두 개의 선형 SPDE의 해임을 도출한다.
• SPDE와 반사 브라운 운동 간의 결합을 수립하여 전체 연속된 연속역학을 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주문 도착률이 증가하고 개별 주문의 영향력이 사라질 때 주문도서의 연속시간 극한은 무엇인가?
• RQ2 정지된 매수 및 매도 체결량 밀도는 어떻게 변화하며, 그 역학을 기술하는 스토크라스틱 방정식의 유형은 무엇인가?
• RQ3 고빈도 스케일링 하에서 최고 매수 및 매도 가격 프로세스의 극한 행동은 무엇인가?
• RQ4 극한에서 가격 프로세스와 체결량 밀도 프로세스는 어떻게 결합되는가?
• RQ5 LOB의 연속된 연속역학은 SPDE 시스템과 반사 확산 프로세스로 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 최고 매수 및 매도 가격 프로세스의 극한은 두 차원 반사 브라운 운동이며, 이는 책의 가격 복원성과 경계 행동을 포괄한다.
• 정지된 매수 및 매도 체결량 밀도 프로세스는 두 개의 선형 스토크라스틱 편미분방정식(SPDEs)의 해로 수렴한다.
• SPDE는 가격 프로세스를 이끄는 동일한 이차원 반사 브라운 운동에 의해 이끌리며, 이는 결합된 극한 시스템을 수립한다.
• 주문 도착률이 무한대로 수렴하고, 틱 크기가 0으로 수렴하며, 개별 주문의 영향력이 사라지는 특정 스케일링 체제 하에서 수렴이 성립한다.
• 극한 모델은 가격 영향력과 체결량 복원성과 같은 주요 마이크로구조적 특성을 유지하는 연속시간 근사 모델을 제공한다.
• 기능적 극한정리는 SPDE와 반사 확산을 사용한 유연하고 현실적인 고빈도 LOB 역학 모델의 수학적 타당성을 엄밀히 정당화한다.