[논문 리뷰] A Functional Limit Theorem for Limit Order Books with State Dependent Price Dynamics

Christian Bayer, Ulrich Horst외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 20.

Economic theories and models참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상태에 의존하는 가격 역학을 갖는 미결제 주문지정부에 대한 기능적 극한정리(함수적 극한정리)를 수립하며, 주문 도착률이 증가하고 개별 주문 영향력이 감소함에 따라 최고 매수/매도 가격과 체결량 밀도의 병합 역학이 확률적 미분방정식(SDE)과 확률적 편미분방정식(SPDE)의 결합 시스템으로 수렴함을 보여준다. 주요 기여는 연속 시간, 무한차원 프레임워크에서 주문지정부 상태가 가격 움직임에 미치는 피드백을 포괄하는 엄밀한 척도 극한을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We consider a stochastic model for the dynamics of the two-sided limit order book (LOB). Our model is flexible enough to allow for a dependence of the price dynamics on volumes. For the joint dynamics of best bid and ask prices and the standing buy and sell volume densities, we derive a functional limit theorem, which states that our LOB model converges in distribution to a fully coupled SDE-SPDE system when the order arrival rates tend to infinity and the impact of an individual order arrival on the book as well as the tick size tends to zero. The SDE describes the bid/ask price dynamics while the SPDE describes the volume dynamics.

연구 동기 및 목표

• 상태에 의존하는 가격 영향력을 고려한 한계 주문지정부의 가격과 체결량의 병합 역학을 모델링하기 위한 확률적 프레임워크를 개발하는 것.
• 가격과 체결량 역학을 모두 포함한 전체 한계 주문지정부에 대해 기능적 중심극한정리를 수립하는 것.
• 기존의 척도 극한을 확장하여 실증적으로 관찰되지만 이전 모델에서 자주 忽略된 체결량에 의존하는 가격 역학을 포함하는 것.
• 고밀도 교통 스케일링 하에서 확률적 분포 수렴을 엄밀히 증명하여 완전히 결합된 SDE-SPDE 시스템을 도출하는 것.
• 주문지정부 상태가 가격 형성에 영향을 주는 피드백을 포함하는 수학적으로 타당한 시장 마이크로구조 모델링 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 현재 최고 매수 및 매도 가격에 따라 달라지는 포아송 분포 주문 도착 및 취소를 갖는 연속 시간, 무한차원 시스템으로 한계 주문지정부를 모델링하는 것.
• 주문 도착률이 무한대로 향하고 개별 주문 영향력 및 체결단위 크기가 0으로 수렴하는 고밀도 교통 스케일링을 적용하는 것.
• 스케일된 과정의 약한 수렴을 확보하기 위해 분포 공간에서 미토마의 정리와 코어성 조건을 사용하는 것.
• 한계 역학을 SDE(최고 매수/매도 가격에 대해)와 SPDE(체결량 밀도 함수에 대해)로 구성된 결합 시스템으로 특성화하는 것.
• 시간 변화된 약한 수렴과 스토카로호드의 보조정리를 활용하여 랜덤 시간 변화가 있는 과정의 수렴을 다루는 것.
• 확률 이론의 기능적 극한정리 기법을 활용하여 분포적 의미에서 가격 및 체결량 과정의 병합 수렴을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가격 형성이 서류 주문량에 의존할 경우, 고밀도 교통 스케일링 하에서 한계 주문지정부의 가격과 체결량 병합 역학은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 상태에 의존하는 가격 역학을 고려한 양방향 한계 주문지정부에 대해 기능적 극한정리를 수립할 수 있는가? (즉, 일정하거나 외생적인 가격 과정을 가정하지 않고서는 불가능한가?)
• RQ3 스케일된 한계 주문지정부 과정의 수렴을 기술하는 한계 시스템은 무엇이며, 수학적으로 어떻게 특성화되는가?
• RQ4 체결량 밀도가 가격 역학에 미치는 피드백이 확산 극한에서 유지되는가? 만약 그렇다면, 한계 시스템에 어떻게 표현되는가?
• RQ5 스케일된 한계 주문지정부 과정의 수열이 확률적 분포 수렴을 보이는 조건은 무엇인가? (즉, 완전히 결합된 SDE-SPDE 시스템으로의 수렴 조건은?)

주요 결과

• 최고 매수 및 매도 가격의 병합 역학과 체결량 밀도 함수는 완전히 결합된 확률적 미분방정식(SDE) 시스템과 확률적 편미분방정식(SPDE) 시스템으로 확률적 분포 수렴한다.
• 한계 가격 과정은 현재 체결량 밀도에 따라 변하는 기댓값과 분산 계수를 갖는 SDE로 규정되며, 상태에 의존하는 가격 영향력을 포착한다.
• 체결량 역학은 연속 시간에서 진화하는 SPDE로 기술되며, 주문 유입과 동일한 기저 포아송 과정에 의해 구동된다.
• 스케일링은 개별 주문 영향력과 체결단위 크기가 사라지고 주문 도착률이 발산하는 고밀도 교통 스케일링 하에서 성립한다.
• 한계 시스템은 분포 공간에서 잘 정의되어 있으며, 미토마의 정리와 C-코어성 조건과 같은 함수해석학적 도구를 통해 코어성 조건이 증명된다.
• 결과는 기존의 척도 극한을 일반화하며, 주문지정부 상태가 가격 역학에 미치는 피드백을 포함하여 실증 관찰된 체결량 불균형 효과와 일치한다.